2023新高考Ⅰ卷数学逐题解析（6）

封面：和泉纱雾（《埃罗芒阿老师》）

20. 设等差数列的公差为，且. 令，记，分别为数列，的前项和.

（1）若，，求的通项公式；

（2）若为等差数列，且，求.

答案  （1）；

(2).

解析  本题考察等差数列的定义、通项公式和求和公式，属于中档题.

（1）由，得，得.

所以，.

由，得，得 .

解得 . 由于，所以.

所以.

(2)  设，则.

由为等差数列，得为定值.

即，即 .

若，则，.

所以

得.

解得. 由于，所以.

若，则，.

所以

得.

解得. 由于，所以这两个解均舍去.

综上，.

21. 甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换

为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均

为，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为.

（1）求第次投篮的人是乙的概率；

（2）求第次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，则. 记前次（即从第次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求.

答案  （1）；

（2）；

（3）.

解析  本题考察事件与概率的运算，并要求借助数列解决概率问题，属于中档题.

（1）设，，.

则

.

（2）假设第次投篮的人是甲的概率为，则

.

即.

所以.

所以.

（3）设指示变量，则服从两点分布，且.

.

所以

.