《几何原本》命题1.26【夸克欧氏几何】

命题1.26：

如果在两个三角形中有两个对应角和一条对应边相等，那么这两个三角形全等

已知：△ABC，△DEF，其中∠B=∠E，∠BCA=∠F

当对应角夹边相等，即BC=EF时

求证：△ABC≌△DEF

解：

假如AB≠DE

设AB＞DE

在AB上取BG=DE

（命题1.3）

连接GC

（公设1.1）

∵BG=DE，BC=EF，∠B=∠E

（已知）

∴△GBC≌△DEF，∠GCB=∠F

（命题1.4）

∵∠BCA=∠F

（已知）

∴∠BCA=∠GCB

（公理1.1）

∴小的等于大的，这是不可能的

（公理1.5）

同理AB＜DE也是不可能的

∴AB=DE

∵BC=EF，∠B=∠E

（已知）

∴△ABC≌△DEF

（命题1.4）

当一组对应角的对边相等，即AB=DE时

求证：△ABC≌△DEF

解：

假如BC不等于EF

设BC＞EF

在BC上取BH=EF

（命题1.3）

连接AH

（公设1.1）

∵BH=EF，AB=DE，∠B=∠E

（已知）

∴△ABH≌△DEF，∠BHA=∠F

（命题1.4）

∵∠F=∠BCA

（已知）

∴∠BHA=∠BCA

（公理1.1）

∴△AHC中外角等于内对角，这是不可能的

（命题1.16）

同理BC＜EF也是不可能的

∴BC=EF

∵AB=DE，∠B=∠E

(已知)

∴△ABC≌△DEF

证毕

此命题将在命题1.34中被使用