量子计算 [5].ext -- 半传统QFT & 化简相位估计

2021-04-26 10:27 作者:nyasyamorina 0人读过 | 我要投稿

本来这里说到的内容全部都是别人在研究shor算法时发明的技巧, 但是稍微算了一下发现这些技巧都是通用的, 就单独拿出来说了.

半传统QFT

说是QFT, 但是很少会有QFT之后接测量的情况, 所以这里只对IQFT进行讨论. QFT也有类似的结论, 可以试着进行推导.

在相位估计里, 电路的后半部分为IQFT+测量, 即:

这里以已经逆序的量子位为输入, 后面的双线代表量子位测量后转化为电信号.

假设在前面的相位估计电路里, 需要测量的量子位数量刚好是相位 $%5Cvarphi$ 所需的精度, 则输入IQFT前的量子位为 $%7Ck_l%5Crangle%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D(%7C0%5Crangle%2Be(0.j_l%5Ccdots%20j_1)%7C1%5Crangle)$ . 因为求解精度刚好满足 $%5Cvarphi$ 的位数, 所以根据H门的定义有: $H%7Ck_1%5Crangle%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7DH(%7C0%5Crangle%2Be(0.j_1)%7C1%5Crangle)%3D%7Cj_1%5Crangle$ , 可以看到最下面的量子位通过H门后就已经得到结果了, 后续的控制方法都不会改变这个量子位的状态. $%7Ck_2%5Crangle$ 的状态在进入QFT前为 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D(%7C0%5Crangle%2Be(0.j_2j_1)%7C1%5Crangle)$ , 逆相位旋转门定义为 $R_t%5E%5Cdagger%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%260%5C%5C0%26e%5E%7B-2%5Cpi%20i2%5E%7B-t%7D%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%7C0%5Crangle%5Clangle0%7C%2Be(-2%5E%7B-t%7D)%7C1%5Crangle%5Clangle1%7C$ , 下面分情况讨论j1为0和1的情况: 如果j1=0, 则R2逆门不作用在 $%7Ck_2%5Crangle$ 上, 这时候有: $%7Ck_2%5Crangle%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D(%7C0%5Crangle%2Be(0.j_20)%7C1%5Crangle)$ ; 如果j1=1, R2逆门作用在 $%7Ck_2%5Crangle$ 上, 则有: $R_2%5E%5Cdagger%7Ck_2%5Crangle%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D(%7C0%5Crangle%2Be(0.j_21)e(-0.01)%7C1%5Crangle)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D(%7C0%5Crangle%2Be(0.j_20)%7C1%5Crangle)$ . 可以看到两种情况都把 $%7Ck_2%5Crangle$ 变为 $%7C0%5Crangle%2Be(0.j_2)%7C1%5Crangle$ , 作用H门后就得到 $%7Cj_2%5Crangle$ . 对于其它量子位也有类似的结论, 这里也不废话了.

可以看到对于任意一个量子位, 状态变化都为 $%7C0%5Crangle%2Be(0.j_l%5Ccdots%20j_1)%7C1%5Crangle%5Crightarrow%7C0%5Crangle%2Be(0.j_l)%7C1%5Crangle%5Crightarrow%7Cj_l%5Crangle$ , 不难看出, 第一个步骤可以使用经典电路实现, 即使用后l-1量子位的状态确定第l个量子位的相位旋转, 而后l-1量子位的状态可以使用测量量子位获得, 根据这个思路设计出以下电路

其中R'是一个相位旋转门, 定义为 $R%5E%7B'%7D_%5Cphi%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D1%260%5C%5C0%26e%5E%7B-2%5Cpi%20i%5Cphi%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D$ , $%5Cphi_l%3D%5Cphi_%7Bl-1%7D%2F2%2Bj_%7Bj%7D%2F4%3B%5Cphi_0%3D0$ . 最后测得目标相位 $%5Cvarphi%3D2%5Cphi_%7Bn%7D$ .