（合计2376字，用时110min——）

第 四 章  向量组的线性相关性

&1.向量组及其线性组合

概念：

• n维向量：n个有次序的数a1,a2,...,an所组成的数称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量。

• 实向量：分量全为实数的向量称为实向量。

• 复向量：分量全为复数的向量称为复向量。

• 点空间：几何中，“空间”通常是作为点的集合，即作为“空间”的元素是点，这样的空间叫做点空间。

• 三维向量空间：我们把3维向量的全体所组成的集合叫做三维向量空间；

  含义：在点空间取定坐标系以后，空间中的点与3维向量之间有一一对应的关系，因此，向量空间可以类比为取定了坐标系的点空间。

  方法：在讨论向量的运算时，我们把向量看作有向线段；在讨论向量集时，则把向量r看做以r为向径的点P，从而把点P的轨迹作为向量集的图形。

• n维向量空间：n维向量的全体所组成的集合

    ——叫做n维向量空间。

• n-1维超平面：n维向量的集合

    ——叫做n为向量空间中的n-1维超平面。

• 向量组：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。

• 向量组的线性组合：给定向量组A：a1,a2,...,am，对于任何一组实数k1,k2,...,kn，表达式

    ——称为向量组A的一个线性组合，k1,k2,...,kn称为这个线性组合的系数。

• 向量b由向量组A线性表示：给定向量组A：a1,a2,...,am和向量b，如果存在一组数 λ1, λ2,..., λm，使

    ——则向量b是向量组A线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示；

    ——向量b能由向量组A线性表示，也就是方程组

    ——有解。

• 向量组B由向量组A线性表示：设有两个向量组A：a1,a2,...,am及B：b1,b2,...,bl，若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。

• 向量组等价：若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。 

定理：

1. 向量b是能由向量组A：a1,a2,...,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,...,am,)的秩等于矩阵B=(a1,a2,...,am,b)的秩。

2. 向量组B：b1,b2,...,bl能由向量组A：a1,a2,...,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,...,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,a2,...,am，b1,b2,...,bl)的秩，即R(A)=R(A,B)。

3. 向量组A：a1,a2,...,am与向量组B：b1,b2,...,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)，其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

4. 设向量组B：b1,b2,...,bl能由向量组A：a1,a2,...,am线性表示，则R(b1,b2,...,bl)<=R(a1,a2,...,am)。

5. 法则：

&2.向量组的线性相关性

概念：

• 向量组线性相关：给定向量组A：a1,a2,...,am，如果存在不全为零的数k1,k2,...,km，使

    ——否则称它为线性无关。

定理：

1. 向量组a1,a2,...,am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,...,am)的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m。

2. 向量组A：a1,a2,...,am线性相关，则向量组B：a1,a2,...,am,am+1也线性相关，反言之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关；

3. m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关，特别地，n+1个n维向量一定线性相关；

4. 设向量组A：a1,a2,...,am线性无关，而向量组B：a1,a2,...,am,b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是惟一的。

&3.向量组的秩

概念：

• 向量组的秩：设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1,a2,...,ar，满足

1. 向量组A0：a1,a2,...,ar线性无关；

2. 向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关

——那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记作RA。

• 最大无关组：设向量组A0：a1,a2,...,ar是向量组A的一个部分组，且满足

1. 向量组A0线性无关；

2. 向量组A的任一向量都能由向量组A0线性表示

——那么向量组A0便是向量组A的一个最大无关组。

定理：

1. 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。

2. 向量组b1,b2,...,bl能由向量组a1,a2,...,am线性表示充分必要条件是R(a1,a2,...,am)=R(a1,a2,...,am,b1,b2,...,bl)。

3. 若向量组B能由向量组A线性表示，则RB<=RA。

&4.线性方程组的解的结构

定理：设mxn矩阵A的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩RS=n-r。

性质：

&5.向量空间

概念：

• 向量空间：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于向量的加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。

• 向量空间的基、维数：设V为向量空间，如果r个向量a1,a2,...,ar∈V，且满足

1. a1,a2,...,ar线性无关；

2. V中任一向量都可由a1,a2,...,ar线性表示

——那么，向量组a1,a2,...,ar就称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间。

• 坐标：如果在向量空间V中取定一个基a1,a2,...,ar，那么V中任一向量x可唯一地表示为

    ——数组λ1, λ2,..., λr称为向量x在基a1,a2,...,ar中的坐标。

• 自然基：在n维向量空间中取单位坐标向量组e1,e2,...,en为基，则以x1, x2,..., xn为分量的向量x，可表示为——

    ——可见向量在基e1,e2,...,en中的坐标就是该向量的分量，因此，e1,e2,...,en叫做该向量空间的自然基。