【数学基础126】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
夹逼准则：若三个数列{xn}，{yn}，{zn}从某项开始成立xn<=yn<=zn，n>n0，且lim xn =lim zn=a，则lim yn=a.
两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是存在多项式u（x），v（x），使得u（x）f（x）+v（x）g（x）=1；
如果（f1（x），g（x））=1，（f2（x），g（x））=1，那么（f1（x）f2（x），g（x））=1.
已知（f（x），g（x））=1，则（f（x），f（x）+g（x））=1，（g（x），f（x）+g（x））=1.
参考资料：
《数学分析》（陈纪修 於崇华 金路）
《解析几何》（吕林根 许子道 编）
《大学教材全解 高等代数（北大第三版）》（总策划：薛金星 主编：刘建波）
数学分析——
例题（来自《数学分析（陈纪修 於崇华 金路）》）——
求下列数列的极限（等于先告诉你数列收敛）：
lim（1-1/2^2）（1-1/3^2）…（1-1/n^2）；
lim（n*lg n）^（1/n）；
lim[1/2+3/2^2+…+（2n-1）/2^n].
解：
由平方差公式：
lim（1-1/2^2）（1-1/3^2）…（1-1/n^2）
=lim（1*3/2^2）（2*4/3^2）…[（n-1）（n+1)/n^2]
=lim（1/2)[(n+1）/n]
=1/2.
由夹逼准则：
lg n/n=lg n/lg（10^n）<1，所以lg n<n；
n>10时，1<lg n<n，lim n^（1/n)=1，则lim（lg n）^（1/n）=1；
所以，lim（n*lg n）^（1/n）=lim（lg n）^（1/n）lim n^（1/n)=1.
极限存在的前提下：
令S=1/2+3/2^2+…+（2n-1）/2^n；
2S=1+3/2+…+（2n-1）/2^（n-1）；
S
=2S-S
=1+1+1/2+…+1/2^（n-2）-（2n-1）/2^n
=1+[1-1/2^（n-1）]/[1-（1/2）]-（2n-1）/2^n
=3-1/2^（n-2）-（2n-1）/2^n；
lim[1/2+3/2^2+…+（2n-1）/2^n]
=lim[3-1/2^（n-2）-（2n-1）/2^n]
=3.
解析几何——
例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——
设一直线上三四按A，B，P满足AP=λPB（λ≠-1），O是空间任意一点，求证：
OP=（OA+λOB）/（1+λ）.
证：
AP=λPB（λ≠-1），则AB=AP+PB=λPB+PB=（1+λ）PB，PB=AB/（1+λ）；
OP
=OA+AP
=OA+λPB
=OA+λAB/（1+λ）
=OA+λ（OB-OA）/（1+λ）
=（OA+λOB）/（1+λ），证毕。
高等代数——
例题（来自《大学教材全解 高等代数（北大第三版）（总策划：薛金星 主编：刘建波）》）——
对于任意的非负整数n，令fn（x）=x^（n+2）-（x+1）^（2n+1），证明：
（fn（x），x^2+x+1）=1.
证明：数学归纳法——
当n=0时，f0（x）=x^2-x-1，显然有（f0（x），x^2+x+1）=1；
假设（fn-1（x），x^2+x+1）=1结论成立，即（x^（n+1）-（x+1）^（2n-1），x^2+x+1）=1，所以，存在多项式u（x），v（x），使
u（x）fn-1（x）+v（x）（x^2+x+1）=1；
fn（x）
=x^（n+2）-（x+1）^（2n+1）
=x[x^（n+1）-（x+1）^（2n-1）]+x（x+1）^（2n-1）-（x+1）^（2n+1）
=xfn-1（x）+[x-（x+1）^2]（x+1）^（2n-1）
=xfn-1（x）-（x^2+x+1）（x+1）^（2n-1），
则
fn-1（x）
=[fn（x）+（x^2+x+1）（x+1）^（2n-1）]/x；
由2、3：
u（x）fn-1（x）+v（x）（x^2+x+1）
=u（x）[fn（x）+（x^2+x+1）（x+1）^（2n-1）]/x+v（x）（x^2+x+1）
=[u（x）/x]fn（x）+[u（x）（x+1）^（2n-1）/x+v（x）]（x^2+x+1）
=1，
所以，（fn（x），x^2+x+1）=1，证毕。
