数学竞赛试卷（中英日三语版）
注意：
本试卷为自命题试卷，请不要在平台上搜索考试答案或者在答题中使用任何软件。本卷共有6道题，16道小题，满分150分。总答题时间8小时。开考前你们有10分钟的时间浏览试卷。本试卷不设相应答题卡，答案请写在桌上的A4纸上，A4纸一人5张。
1.（初等平面几何）在平面内有正三角形ABC，D是BC上一点，E是ABD的外心，F是ACD的外心。请回答以下问题。
（1）做三角形DEF。求证：DEF是等边三角形.（2分）
（2）BF、CE交于G，求证G是ABC的中心.（3分）
（3）延长BE、CF交于H，求证GH=GC.（3分）
（4）做a过E垂直于AF；b过F垂直于BE；a与b相交于K。求证：K在AB上.（8分）
命题：咲东、MOKE
审核：一信、二神
2.（代数基础分析）已知f(x)=e^x-x^e。
（1）请计算出该函数的导数.（3分）
（2）求证：函数值恒大于等于0.（4分）
（3）请问该函数有多少个极点?（5分）
（4）请计算出该函数的零点与所有极点顺次连接组成的凸多边形的面积.（5分）
命题：MOKE、二神
审核：一信
3.（代数综合分析）已知函数y=x*e^（x+a），e为自然底数。
（1）求该函数的极点.（5分）
（2）求证：该函数有且仅有一条渐近线，并写出这条渐近线的类型.（8分）
（3）求证：g(x)=f(x)+e^(a-1)≥0.（10分）
（4）求证：当x*[e*g(x)-1]≥0.
命题：二神、咲东
审核：MOKE
4.（新场景应用）在3*4的网格内有一颗黑子与两颗白子，按照如下方式移动：黑子开始时处在左上角的格子中，每次移动2格（可以横向竖向各移动1格，禁止斜向移动）。一个白子处在黑子右下角的一格，两个白子相距2格，每个白子每次移动一格。黑先白后。当两个白子都挨在黑子旁边时黑子就输了。请问黑方是否有不输的办法？如果没有，请问白方至多在多少次之后胜利？请给出证明过程.（25分）
命题：MOKE、一信
审核：咲东
5.（平面解析几何）平面直角坐标系xOy内做一个圆，这个圆的半径为2，圆心为坐标原点O。A（1，0），B（0，1）。C点是这个圆上的一个动点。
延长BC交x轴于D点，延长AC交y轴于E点。
（1）请求出AD*BE的值.（5分）
（2）分别做DC、EC的中垂线p、q交于K。求证：K在定直线x-y=0上.（7分）
命题：二神
审核：MOKE、咲东
（3）分别做l1、l2过A、B垂直于CD、BD交于K。求证：CK的长度、与坐标轴的夹角与C点所在位置无关，并计算出C点顺时针运动360度时CK扫过部分的面积.（12分）
（4）延长KC、KB交圆于M、N，求出K的轨迹方程，并证明JG、KH、AI三线共点.（15分）
6.（数论）完全平方数可以由两个相同的数相乘得到，它寄寓了人们对一切美好事物的无止境追求。
（1）是否存在一个八位完全平方数，使其只由1和4构成？请证明你的结论.（8分）
（2）是否存在2022位完全平方数使得它只由1、4、9、0构成，而且不以零结尾?请证明你的结论.（12分）
命题：MOKE
审核：一信、咲东
鸣谢名单
总策划：一信
总负责人：咲东
设备：MOKE、二神
题目顺序校验：二神
题目内容校验：MOKE（101、201～203、301～302、304、501、503、602）、咲东（102、204、303、401、502、504、601）
6.22初次拟定
6.25定稿
6.29最终审核
Notice:
Please do not search for answers on the platform or use any software in answering questions. There are 6 questions and 16 short questions, with a full mark of 150 points. The total answer time is 8 hours. You have ten minutes to look over the papers before the test begins. Please write your answers on A4 paper on the desk. Each person has 5 A4 papers.
1. (Elementary plane geometry) In the plane is the regular triangle ABC, D is a point on BC, E is the outer center of ABD, F is the outer center of ACD. Please answer the following questions.
(1) Make triangle DEF. DEF is equilateral triangle. (2分)
(2) BF and CE intersect with G, and it is proved that G is the center of ABC.
(3) Extend BE and CF to H, and verify GH=GC. (3 marks)
(4) Do a over E perpendicular to AF; B over F is perpendicular to BE; A intersects B at K. K is on AB. (8分)
Propositions: Sakito, MOKE
Review: One faith, two gods
F (x)=e^x-x^e
Please calculate the derivative of this function.
(2) Verify: The function value is always greater than or equal to 0. (4 marks)
How many poles does this function have? (5 points)
(4) Please calculate the area of the convex polygon formed by the sequential connection of the zero point of the function with all the poles.
Proposition: MOKE, two gods
Review: one letter
Y =x*e^ (x+a), e is the natural base.
(1) Find the pole of the function.
(2) Verify that the function has one and only one asymptote, and write the type of this asymptote.
G (x)=f(x)+e^(a-1)≥0. (10分)
(4) Verify: when x*[e*g(x)-1]≥0.
Proposition: Two god, Sakito
Review: MOKE
4. (New scene application) Move a black spot and two white spots in a 3*4 grid as follows: The spots start in the upper left corner of the grid and move 2 squares at a time (1 square can be moved horizontally and 1 square can be moved vertically, oblique movement is prohibited). A white son is in the lower right corner of the black one square, two white son is 2 square apart, each white son moves one square at a time. Black comes before white. When both white pieces are next to black pieces, black pieces lose. Does black have a way not to lose? If not, how many times can white win? Please give the proof process.
Propositions: MOKE, a letter
Review: Sakito
5. (plane analytic geometry) Make a circle in the plane rectangular coordinate system xOy, the radius of the circle is 2, the center of the circle is the coordinate origin O. A (1,0), B (0,1). C is a moving point on this circle.
Extend BC to intersect the X-axis at D and AC to intersect the Y-axis at E.
(1) Select the value of AD*BE (2 分)
(2) Make the perpendicular lines P and Q of DC and EC intersect K respectively. K is on the fixed line x-y=0.
Proposition: Two gods
Review: MOKE, Sakito
(3) L1 and L2 intersect with K through A and B perpendicular to CD and BD, respectively. Verify that the length of CK and the included Angle with the coordinate axis are independent of the position of point C, and calculate the area of the part swept by CK when point C moves 360 degrees clockwise.
(4) Extend the intersection circle of KC and KB to M and N, work out the trajectory equation of K, and prove that the three lines JG, KH and AI have common points.
The perfect square number, which can be multiplied by two identical numbers, embodies the endless pursuit of all good things.
(1) Is there an eight-bit perfect square number that consists of only 1 and 4? Please prove your conclusion.
(2) Is there a perfect square number with 2022 bits such that it consists only of 1, 4, 9 and 0 and does not end in zero? Please prove your conclusion.
Proposition: MOKE
Review: Ichishin, Sakito
Thanks to the list
Chief planner: one letter
General manager: Sakito
Equipment: MOKE, two gods
Two gods
MOKE (101, 201 ~ 203, 301 ~ 302, 304, 501, 503, 602), Sakito (102, 204, 303, 401, 502, 504, 601)
6.22 Initial draft
6.25 finalized
6.29 Final review
ちゅーい注意:
このもんだい問題し紙はじ自めーだい命題もんだい問題し紙で、プラットフォームじょー上でしけん試験のかいとー解答をけんさく検索しないでくださいあるいはかいとー解答のなか中でいかなるソフトウェアをしよー使用しないでください。ぜん全6もん問、しょーもん小問16もん問、150てん点まんてん満点。そー総かいとー解答じかん時間は8じかん時間。しけん試験かいし開始まえ前に10ふんかん分間、しけん試験よー用し紙にめ目をとーす通すじかん時間がある。とーあん答案よー用し紙にがいとー該当するとーあん答案よー用し紙はありません。とーあん答案はつくえ机のうえ上のA4よーし用紙にかい書いてください。A4よーし用紙ひとり一人5まい枚です。
1.(しょとー初等へーめん平面きか幾何がく学)へーめん平面ない内にせー正さんかく三角がた形ABCがあり、DはBCじょー上のいち一てん点、EはABDのがいしん外心、FはACDのがいしん外心である。いか以下のしつもん質問にこたえ答えてください。
(1)さんかく三角けー形のデフをする。きゅー求しょー証:DEFはに二とーへん等辺さんかく三角がた形です。(2ふん分)
(2) BF、CEはGにまじわり交わり、GはABCのちゅーしん中心であることをもとめる求める。(3ふん分)
(3) BE、CFをHにえんちょー延長し、GH=GCであることをかくにん確認する。(3てん点)
(4) aをEにたいし対してすいちょく垂直にする。bはFをとーっ通ってBEにすいちょく垂直である;aとbはKでまじわる交わる。かくにん確認をもとめ求めます:KはABのうえ上で。(8ふん分)
めーだい命題:さき咲ひがし東、モーク
さてー査定:かずのぶ一信、にかみ二神
2.(だい代すーがく数学のきそ基礎かいせき解析)f(x)=e^x−x^eがしら知られている。
(1)このかんすー関数のびぶん微分をもとめ求めてください。(3てん点)
(2)しょーめー証明をもとめ求めます:かんすー関数のあたい値は0にひとしく等しくなります。(4ふん分)
(3)このかんすー関数のきょくてん極点はいくつあるか。(5てん点)
(4)このかんすー関数のれー零てん点とすべてのきょくてん極点がじゅんじ順次れんけつ連結するとつ凸たかく多角けー形のめんせき面積をけーさん計算してください。(5ふん分)
めーだい命題:モーク、にかみ二神
さてー査定:かずのぶ一信
3.(だい代すーがく数学てき的そーごー総合ぶんせき分析)きち既知のかんすー関数y=x*e^ (x+a)、eはしぜん自然のそこ底である。
(1)このかんすー関数のきょくてん極点をもとめる求める。(5てん点)
(2)しょーめー証明をもとめ求めます:このかんすー関数はただ1ぽん本のぜんきん漸近せん線があって、そしてこのぜんきん漸近せん線のタイプをかきだし書き出します。(8ふん分)
(3)けんしょー検証するg(x)=f(x)+e^(a-1)≧0.(10てん点)
(4)けんしょー検証する:x*[e*g(x)-1]≧0である。
めーだい命題:にかみ二神、さき咲ひがし東
さてー査定:MOKE
4.(しん新シーンてきよー適用)3*4のこーし格子ない内にこくてん黒点1こ個とはくてん白点2こ個があり、つぎ次のように移はたらけ働する。こくてん黒点はさいしょ最初にひだりうえ左上のこーし格子のなか中にあり、2マスずつ移はたらけ働する(たて縦ほーこー方向に1マスずつ移はたらけ働でき、ななめ斜めほーこー方向への移どー働はきんし禁止)。1つのしらこ白子はこくてん黒点のみぎした右下のマスにあり、2つのしらこ白子は2マスはなれ離れており、かく各しらこ白子は1マスずついどー移動する。くろ黒がさき先にしろ白があと後。ふたり二人のしらこ白子がほくろ黒子のよこ横にくっつくとほくろ黒子のまけ負けです。ブラックがわ側がまけ負けないほーほー方法はありますか?もしないならば、しろ白のほー方がしょーり勝利するのはせいぜいなん何かい回ご後でしょうか。しょーめー証明かてー過程をおしえ教えてください。(25てん点)
めーだい命題:モーク、かずのぶ一信
しんさ審査:さき咲ひがし東
5.(へーめん平面かいせき解析きか幾何がく学)へーめん平面ちょっかく直角ざひょー座標けー系xOyない内にえん円をつくり作り、このえん円のはんけー半径を2とし、ちゅーしん中心をざひょー座標げんてん原点Oとする。A(1,0)、B(0,1)。Cてん点はえん円のうえ上のどーてん動点です
BCがxじく軸をDてん点にえんちょー延長し、ACがyじく軸をEてん点にえんちょー延長する。
(1) AD*BEのあたい値をよーきゅー要求する。(5てん点)
(2)それぞれDC、ECのちゅー中すいせん垂線p、qをKにまじえる交える。もとめる求める:Kはてー定ちょくせん直線x-y=0じょー上。(7ふん分)
めーだい命題:にかみ二神
しんさ審査:モーク、さき咲ひがし東
(3) l1、l2はそれぞれA、Bをとーっ通ってCD、BDにすいちょく垂直にKにまじわる交わる。しょーめー証明をもとめ求めます:CKのなが長さ、とざひょー座標じく軸のかくど角度はCてん点のいち位置とせき関けー系なくて、そしてけーさん計算してCてん点がとけー時計まわり回りに360ど度うん運はたらけ働するとき時CKはき掃きすぎ過ぎたぶぶん部分のめんせき面積。(12ふん分)
(4) KC、KBこー交えん円をM、Nにえんちょー延長し、Kのきせき軌跡ほーてー方程しき式をもとめ求め、JG、KH、AIのさん三せん線とも共てん点をしょーめー証明する。(15ふん分)
6.(すーろん数論)かんぜん完全なへーほー平方すー数は2つのおなじ同じかず数をかけ掛けてえる得ることができて、それはひとびと人々のすべてのすばらしいものにたいする対するむげん無限のついきゅー追求をやどし宿している。
(1) 1と4だけからなる8ビットかんぜん完全に二じょー乗すー数がそんざい存在するか?けつろん結論をしょーめー証明してください。(8てん点)
(2) 1、4、9、0のみでこーせー構成され、ゼロでおわら終らないかんぜん完全なに二じょー乗すー数が2022けた桁そんざい存在するか?けつろん結論をしょーめー証明してください。(12てん点)
めーだい命題:モーク
しんさ審査:かずのぶ一信、さき咲ひがし東
しゃれー謝礼めーぼ名簿
そー総きかく企画:かずのぶ一信
そー総せきにん責任しゃ者:さき咲ひがし東
せつび設備:モーク、にかみ二神
もんだい問題じゅん順チェック:にかみ二神
もんだい問題ないよー内容チェック:モーク(101、201 ~ 203、301 ~ 302、304、501、503、602)、さき咲ひがし東(102、204、303、401、502、504、601)
6.22しょかい初回さくせー作成
6.25けってー決定こー稿
6.29さいしゅー最終しんさ審査
