数学史闲话：从斐波那契数列到代数（一）
本文章内容算是个人读书笔记吧，不标原创
相信每一个学过数列的小伙伴都知道斐波那契数列，应该还有不少知道这个数列有“兔子数列”的爱称。
这个数列的creator是著名的意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）
有趣的是，斐波那契仅是他的外号。莱昂纳多·斐波那契其父有类似于“甫”（我国古代男子的美称，比如诗圣杜甫，现在也被人在使用着）一般的外号Bonacci（意即“好、自然”或“简单”），于是乎就有了Fibonacci=filius Bonacci（Bonacci之子）这样的外号，后来发现本名莱昂纳多与当时的大佬莱昂纳多·达芬奇（Leonardo da Vinci）撞号了，于是外号“鸠占鹊巢”，被后人沿用至今，其本名倒渐淡出世人视野了（或者被叫做“比萨的莱昂纳多”，因为他祖籍为比萨），因此莱昂纳多·斐波那契的很多结论都是用斐波那契命名的，其他数学家如高斯有如“数学王子”这样的外号，斐波那契本身就是外号，不可不谓之一奇了。
这位大佬在27岁时写了一本大名鼎鼎的书——《计算之书》（Liber Abaci），这本书在当时经济日益繁荣的意大利（用术语来说，就是资本主义萌芽时期）近乎是应运而生，因为它主要研究日常问题的数学方法及其在商贸、度量称衡、货币换算、单利算利计算等各种场合的应用，简直是商人的狂喜之书！应该说，这本书对当时的商贸活动和后世的数学产生了很大影响。
这本书我们后面还要提到，不过你现在只需要知道这本书的第十二章有一个论兔子问题——“若一对成年兔子每个月恰好生下一对小兔子(一雌一雄)。在年初时，只有一对小兔子。在第一个月结束时，他们成长为成年兔子，并且第二个月结束时，这对成年兔子将生下一对小兔子。这种成长与繁殖的过程会一直持续下去，并假设生下的小兔子都不会死，那么一年之后共可有多少对小兔子？”
当然我们可以抽象出来一个结论——“第n个月的兔子总数=第(n-1)个月的兔子总数+第(n-2)个月的兔子总数”
再转化一下数学语言，就是斐波那契数列了——
顺便用特征根方程的方法可以求出其通项
兔子生了一窝一窝，这个类似于指数函数的数列通项也会变得很大很大，最后的结果就是——野兔多得成灾！等300年后人们挖掘出《计算之书》这一中世纪宝贵的数学遗产时，顿时觉得其中的兔子问题又震惊又好玩，无怪乎这个小知识广为流传了，所以我们可以给斐波那契一个外号——“点兔成金斐波那契”。
当然，以上都是玩笑话，斐波那契数列还是很强大的，在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，无怪乎专门研究斐波那契数列的刊物《斐波纳契数列季刊》会出版了。
除了《达芬奇密码》里面索菲的祖父把打乱了斐波那契数列“13—3—2—21—1—1—8—5”（正确顺序是1，1，2，3，5，8，13，21）写在了卢浮宫的地板上，吸引了一波关注外，我们的日常生活也经常看到这个人畜无害又奇妙无比的数列。
上面的曲线又称“生命曲线”，在贝壳、台风、向日葵等中都有出现。
还有滑稽版的
究其原因，除了感叹大自然的神奇之外，还得感叹一个黄金比例φ——连续斐波那契项的比率准确值是 (√5 + 1)/2 (约1.618034)，通常用希腊字母Phi(大写的希腊字母Φ)表示。Phi的小数部分用小写的phi(希腊字母:φ)表示, 准确值为 (√5 - 1)/2 , 约等于0.618034。
拿植物来说，这个φ与许多植物种子中螺旋线的数量以及叶序的排列更为密切，所以我们也会在很多种的植物中看到φ的身影。
科学家已经证明：在新种子(或叶子、花瓣等)破壁而出之前，这样做0.618圈旋转就会产生最佳的种子布局
那么植物是如何发现这个美丽且实用的数字φ呢？显然不是像斐波那契那样通过解数学计算得出的。而是植物在亿万年进化的过程中逐步演化停留在最合适自己生存的数字上。斐波那契所留下的遗产不仅闪烁在每株植物的花蕾之上，也是数学世界所绽放最耀眼魅力光芒中的一束。
斐波那契数列我们就介绍到这里，下面我们再来谈谈《计算之书》吧。
在地理大发现、全球化时代到来前，我们知道世界各地的联系是很弱的，数学的传递任务一般由商人肩负，因此“商人的数学”崛起，《计算之书》就是这样诞生的。
斐波那契的父亲在当时被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点于阿尔及利亚地区，所以斐波那契在北非度过了他的童年，接受过摩尔人的教育，在巴尔巴里（阿尔及利亚）游历甚广，后来被派往埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯出差。公元1200年，他回到比萨后，利用在旅行中所学到的知识撰写了《计算之书》(出版于1202年)。
应该说，斐波那契沟通了中亚和西欧的数学联系，因为他把在这本书里面把印度—阿拉伯数字系统引入到了当时的拉丁语世界中，其中尤其是十进制的引入，大大促进了商人们的实际计算，顺便也促进了代数的发展——
随着经济发展，商人阶层的崛起，越来越多的人发现他们需要计算能力。由于代数被认为是一种广义的算术，所以学者们在深入研究时，一开始研究算术，再转向研究代数是很自然的事。实际上斐波那契的《计算之书》算是为代数学开了一扇窗。
不过需要注意的是，斐波那契的《计算之书》，就像启发它的阿拉伯代数一样，内容完全是修辞性的文字，方程式和运算过程完全用文字表达，尚只可见代数的雏形。
但后面的三个世纪里，意大利数学家发明了单词缩写法（比如加法“plus”为“p”和加号已经很接近了）后来又随着处理二次方程和一次方程越来越多，意大利代数学家开始用用cosa这个词，意思是“事物（thing）”，来表示方程式中未知的变量。当其他国家的学者参与进来时，他们使用了coss（未知数），结果，他们有时被称为"未知数计算家（cossists）"，而代数有时被称为“解未知物之术”（the cossic art），代数的大门前，叩门人的脚步声已经越来越近了。
不过就算“未知数计算家”遍布欧洲各地，特别擅长发明符号，用不同的符号来代表未知的量、未知的平方等等（一些人用特殊符号来表示代数运算和开方，其他人只是简单地把关键词缩写出来。）他们并没有用符号来表示未知数以外的数（即没有参数），这种量都是数字的。所以，他们可以列出像x2＋10x＝39这样的式子，却不能写出类似ax2＋bx＝c的式子，他们会解这类方程，但并不能抽象出一般情况，所以他们一般用文字表述方程的解法，并加上许多例子为例证。
有趣的是，这个时期有一种类似于解方程竞赛的东西，当时富豪愿意赞助学者，只需证明自己比其他学者会解更多方程和能更快解方程就行——在物质的刺激下，代数领域的数学家探究着三次方程的解法，有名的是希皮·奥内·德尔费罗（Scipione del Ferro）和塔塔利亚（Tartaglia），他们发现了某种解法，并靠垄断来获利（当时的学术风气就是这么复杂，促进个人发明但不能促进成果推广）
希皮·奥内·德尔费罗和塔塔利亚都发现了形如“x3+px=q”方程的解法（p，q均为正数），其中希皮·奥内·德尔费罗一直死守，直到去世前才传给学生菲奥尔（Fior）。沉不住气的菲奥尔在听说塔塔利亚也已经得到三次方程的求根公式后，并不相信，在1535年发起了对塔塔利亚的挑战。
由于菲奥尔是继承而没有创新，但塔塔利亚是自己摸索出来的，所以在实际比赛中上演了“学二代”输给了“学草根”的经典剧情——塔塔利亚因为在规定时间里解出了更多的形如“x3+px=q”方程而大获全胜，还谋到了一个数学教授职位，完成了“学草根”的逆袭。
这场大赛过后，很多人都知道了三次方程是可解的，但是并不知道方法或公式，塔塔利亚选择保守这个秘密，把方法继续垄断了下去
不过，三次方程的垄断格局还是被吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）打破了（算是一场有趣的学术纠纷）。卡尔达诺向承诺塔塔利亚永远不会透露求解方法，于是说服塔塔利亚与他分享这个秘密。（试了很多方法以后，卡尔达诺终于从塔塔利亚那里得到了一首25行诗（写诗是当时的流行，贵族的艺术嘛）——此诗晦涩难懂，但的确包含了三次方程的求根公式，最终成功被卡尔达诺破译。卡尔达诺知道塔塔利亚的求解某些三次方程的方法后，尝试推广到求解任何三次方程式的方法并做出了一定成绩，于是他觉得自己已经做出了自己的实际的贡献，于是决定不再保密承诺，便写了一本名为《大衍术》（Ars Magna）的书（"伟大的艺术"），书中（用拉丁文撰写）给出了关于如何求解三次方程的完整的几何证明，还包括了他的学生洛多维科·费拉里发现的求解一般四次方程式的方法。
尽管他承认塔塔利亚的贡献，但塔塔利亚依然被他违背诺言行为激怒了。他公开抗议，但最后无能为力。（后来又发生了大型shibi事件，感兴趣的可以自己去查查，这里就不吃这个老瓜了。）事实上，求解三次方程式的公式今天仍然被称为“卡尔达诺公式"（或者“卡丹公式”）。
尽管卡尔达诺之举多为人称之不义，但他毕竟还是打破了求解三次方程式的数学之墙，推动了数学的发展
（对此达纳·麦肯齐评价说：
“数学的繁荣来自公开的交流。
仅仅发现美洲新大陆是不够的，
发现者还必须让这一发现让世人所知。
只有卡尔达诺走出最后这一步，
并因此获得这一光荣。”）
当然，在当时的书中写方程依然是这样写的——Cubus.aeq. 15.cos.p.4（即“一个立方等于15个物加上4”，即方程式x3=15x+4）
关于《大衍术》中方程怎么解的，又引出了什么问题，就留到下期了，卖个关子，数学更有趣嘛
谢谢你观看此篇文章，来个三连再走吧
参考文献：百度词条——“斐波那契数列”、“计算之书”
“神奇的斐波那契数列之‘斐波那契’数列的由来”——BY“科普中国-科学原理一点通”
“生命曲线与神圣的斐波那契数列”——BY“百家号”遇见数学
《这才是好读的数学史》——BY[美] 比尔·伯林霍夫、[美] 费尔南多·辜维亚
