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相控阵列 -- 亿点点数学小细节

2022-07-03 18:06 作者:nyasyamorina  | 我要投稿

前排提醒:  这个专栏不是介绍 5G 天线或相控雷达,  如果想学习有关天线/雷达相关的知识可以出门右转 Wikipedia.  这个专栏仅是基于个人推理后得出的各种胡言乱语,  所以如果有错误欢迎在评论里指出.


相控阵列 (Phased Array) 是指由多个发射源(天线或音箱等)组成的阵列,  通过控制发射源之间的相位差 (或者说时序),  可以使原本会分散在空间里的能量 (电磁波或声波) 朝特定方向发射,  如下图所示 (图源自 wiki).

我就不是很懂为什么图片和分割线之间的空行会被吞掉,  但是文字和分割线之间的却不会,  阿b能不能整点人性化设计.



一个极简数学模型

在电动力学里,  可以使用麦克斯韦方程组准确描述电磁场,  而在某些条件下,  麦克斯韦方程组可以退化为波动方程 %5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2w%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%3Dv%5E2%5Cnabla%5E2w,  同时波动方程也可以描述声音传播.  对于通用情况,  波动方程就已经是最简模型了.  

但在这个专栏讨论的情况里,  波唯一的来源就是发射源,  并且假设介质均匀且不消耗波的能量.  发射源的尺寸相对于整个辐射范围来说可以近似地看作一个点.  并且由于波的传播速度很快,  恒定的发射源周围的场可以看作是由发射源造成的恒定场 (不随时间变化)*.  由上述假设可以使用一个位置 p 和 强度 A 去描述一个发射源,  那么空间上的场强为 w(%5Cvec%20r)%3D%5Cfrac%7BA%7D%7B%7C%7C%5Cvec%20r-%5Cvec%20p%7C%7C%5E2%7D,  如下图所示

靠近发射源的地方不可避免地过曝了

但在实际情况里,  发射源不是恒定的,  大部分发射源都是以特定频率 f 进行震荡,  所以修改发射源的强度为 Ae%5E%7Bi(2%5Cpi%20ft%2B%5Cphi)%7D **,  其中 ϕ 为源的初始相位.  因为波以速度 v 往外传播,  所以在距离源 d 处的点实际上是受到 d/v 时间前的源影响,  那么空间上的场应为 w(%5Cvec%20r%2Ct)%3D%5Cfrac%7BA%7D%7Bd%5E2%7De%5E%7Bi(2%5Cpi%20f(t-d%2Fv)%2B%5Cphi)%7D%3B%5C%3Bd%3D%7C%7C%5Cvec%20r-%5Cvec%20p%7C%7C.  并且在通常情况下,  一组发射源的频率都是相同的 (至少在短时内),  那么场里关于时间的项可以看作全局相位而被忽略,  最后得到我们需要的模型: w(%5Cvec%20r)%3D%5Cfrac%7BA%7D%7Bd%5E2%7De%5E%7Bi(%5Cphi-2%5Cpi%20fd)%7D (这里使用 f 替换了 f/v),  如下图所示

这里使用色环显示相位:

*:  由于波只受上一个时刻附近的波的影响 (惠更斯原理),  所以当波离开发射源后将不再受到发射源的影响,  所以这时候波可以看作恒定场的某个局部.

**:  习惯上把震荡源的强度写作 A%5Csin(2%5Cpi%20ft%2B%5Cphi),  这样会使场出现零-非零的条纹间隔,  但实际上场为零的地方就不代表能量为零 (场的时间偏导不为零),  所以把震荡源写为复数形式可以保证相位为零的时场不为零,  并保证了场的线性.


这个模型是线性的,  也就是说当空间里存在多个源时,  场是每个源的线性叠加:  w(%5Cvec%20r)%3D%5Csum_k%5Cfrac%7BA_k%7D%7B%7C%7C%5Cvec%20r-%5Cvec%20p_k%7C%7C%5E2%7De%5E%7Bi(%5Cphi_k-2%5Cpi%20f%7C%7C%5Cvec%20r-%5Cvec%20p_k%7C%7C)%7D.  这可以简单地从双缝实验里体现:


可逆性

也就是在几何光学里老生常谈的光路可逆,  实际上在波动光学里某些条件下光仍是可逆的.  但为了满足光路可逆需要严格地控制场 (包括场的时间偏导) 上的每个非零值的点,  这在只有发射源的情况下是不可实现的.

尽管如此,  在只有发射源的情况下,  仍然可以通过相位之间的干涉在一定程度上还原逆向光路:  在单发射源的情况下,  距离发射源同一半径的的场是同相位的,  那么使用一组相同初相的发射器,  并放成一个圆形 (其实应该为球形),  则在圆心处场强会出现极大值, 如下图所示:

因为场的线性,  所以发射源就算不排列为一个完整的圆仍可以有类似的结果:  下图是排列为半圆的发射器,  在圆心处仍出现了一个极大值

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相控阵列

通过上面的示例可以看出,  相控阵列就是控制多个发射源的相位,  让相位互相干涉使得在特定地方的场强达到极大值.

为了使模型通用,  现在考虑以下"正向"情景:  有一个发射源 O,  并且有两个不同位置的接收器 A 和 B,  那么 A 和 B 接收到的场为 w_A%3D%5Cfrac%7BA_O%7D%7Bd_%7BA%7D%5E2%7De%5E%7Bi(%5Cphi_O-2%5Cpi%20fd_%7BA%7D)%7D 和 w_B%3D%5Cfrac%7BA_O%7D%7Bd_%7BB%7D%5E2%7De%5E%7Bi(%5Ctheta_O-2%5Cpi%20fd_%7BB%7D)%7D.  A_O, ϕ_O 表示为发射源 O 的强度和初相,  d_A 和 d_B 表示 O 到 A 和 B 的距离.  为了方便,  记 A_A%3D%5Cfrac%7BA_O%7D%7Bd_%7BA%7D%5E2%7D%3B%5C%3B%5Cphi_A%3D%5Cphi_O-2%5Cpi%20fd_%7BA%7D,  那么 A 处的场可以写为 w_A%3DA_Ae%5E%7Bi%5Cphi_A%7D,  类似地 B 也有这样的记法.

然后考虑这个场景的"逆向"光路:  A, B 两处有两个发射源,  而 O 处有接收器.

设发射源 A 的强度和初相为 A'_Ae%5E%7Bi%5Cphi'_A%7D,  发射器 B 的为 A'_Be%5E%7Bi%5Cphi'_B%7D,  那么接收器 O 处的场为 w'_O%3D%5Cfrac%7BA'_A%7D%7Bd_%7BA%7D%5E2%7De%5E%7Bi(%5Cphi'_A-2%5Cpi%20fd_%7BA%7D)%7D%2B%5Cfrac%7BA'_B%7D%7Bd_%7BB%7D%5E2%7De%5E%7Bi(%5Cphi'_B-2%5Cpi%20fd_%7BB%7D)%7D,  不难知道,  当 O 处受到的相位相同时 %5Cphi'_O%3D%5Cphi'_A-2%5Cpi%20fd_%7BA%7D%3D%5Cphi'_B-2%5Cpi%20fd_B,  O 处的场强取极大值.  因为关于相位的上式有无限个解 (一条式子两个未知量),  所以可以取特解 %5Cphi'_A%3D-%5Cphi_A%3B%5C%3B%5Cphi'_B%3D-%5Cphi_B,  解得 %5Cphi'_O%3D-%5Cphi_O.  另外发射器的强度 A'_A%2C%5C%2CA'_B 的取值是任意的,  但当取 A'_A%3D%5Cfrac%7BC%7D%7BA_A%7D%2C%5C%2CA'_B%3D%5Cfrac%7BC%7D%7BA_B%7D 时,  其中 C 是任意常数,  那么 A 和 B 在 O 处造成的场强是相等的,  则有 A'_O%3D%5Cfrac%7BA'_A%7D%7Bd_%7BA%7D%5E2%7D%2B%5Cfrac%7BA'_B%7D%7Bd_B%5E2%7D%3D2%5Cfrac%7BC%7D%7BA_O%7D.  综合上面的式子,  则有 A'_Ae%5E%7Bi%5Cphi'_A%7D%3DC%5Ccdot%20w_A%5E%7B-1%7D,  B 也有类似的结论.

以上结论对多个发射源/接收器也适用,  并且发射源数量越多,  相位干涉效果越明显.  下面是使用 100 个发射源得到的结果:

从相位图可以看出来,  实际上相控阵列是还原了球面波的一部分,  所以波在前进到球心处达到极大值.

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在实际使用中,  通常需要通讯的地点距离相控阵列非常远,  以至于通讯设备发出的球面波在到达相控阵列时已经被拉伸到与平面波几乎一致.  在上面的"正向-逆向"的"正向"情境中,  因为 O 距离 A 和 B 距离较近,  所以 A 和 B 接收到的波是球面波,  但如果 O 与 A, B 相距很远,  那么 A, B 收到的波可以近似看作来自同一方向: 

那么这时候,  A, B 两处的相位差为 %5Cphi_B-%5Cphi_A%3D-2%5Cpi%20d%5Ccos%5Calpha (可以通过波的路程差计算出),  其中 d 表示 A 和 B 的距离.  另外,  平面波的强度是不会随距离衰减的,  也即 A 和 B 处的强度可以近似看作相等.

那么在逆向场景里可以随意指定 %5Cphi'_A,  而有 %5Cphi'_B%3D%5Cphi'_A%2B2%5Cpi%20fd%5Ccos%5Calpha.  当相控阵列里每个源都是均匀排列的时候,  这个差值就是统一的.  在这种情况里,  能量会在方向 α 上取极大值:

zoom in 10x

记住,  因为场是线性的,  所以如果需要往多个方向发射,  只需简单地把结果组合起来:

zoom in 10x

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另外值得注意的一点是,  如果当发射方向 α 近乎与相控阵列平行的话,  会不可避免地造成能量在其他方向上发散,  如下图所示 (α = 30°):

看到在另外的方向 ~170° 也产生了一束能量,  这会造成能量损失或测量错误等.  这个结果受频率,  发射源之间的间距和发射方向影响,  因为通常情况下,  频率是不能改变的,  所以可以通过减少发射源间距或安装多个面向的相控阵列来保证发射方向总是在阵列前方.  下面是减少间距到原本 1/2 的效果:

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接下来把相控阵列拓展到 3 维空间上.  描述立体空间里的角度当然要使用立体角,  虽然但是,  这里使用单位向量 ω 来表示方向.  在 2 维的版本里使用向量描述为:

不难知道: %7C%7Cd%7C%7C%5Ccos%5Calpha%3D-%5Cvec%20d%5Ccdot%5Cvec%5Comega,  并且当存在多个发射源时,  每个发射源都可以相对于 A 来计算相位,  并且实际上 A 处也不一定是发射源,  当基准位置 A 不确定时至多只会造成全局相位不确定,  当所有相对于 A 计算的相位之间是相对确定的.  特别地,  当 A 取坐标原点时,  B 处源的初相可以取 %5Cphi'_B%3D-2%5Cpi%20f%5Cvec%20B%5Ccdot%5Cvec%5Comega.  这个结论在 3 维空间里也是成立的.

下图是朝着两个方向发射的相控阵列,  在阵列前方 10k 个阵列尺寸的空间截面,  可以看到能量在特定方向上非常集中.

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最后来说一下相控阵列使用的排列模式.  常用的排列方式有方阵和六角点阵等,  下面分别是方阵和六角点阵的排列模式:

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其实这个专栏想写有一两年的了,  但是这几天才水出来,  享受极致懒惰.


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