2018 WMTC Intermediate Level Individual R1

闲来无事，就发一下最近做的题目吧

题目：

    1.B)

因为  ，由此可得因数个数为：

    2.A)

可以把左右式取  ，可得以下一元一次方程：

得 

    3.C)

这题解法是用裂项法

把每个括号内的式子用平方差公式化为两个分母相同的分数之积

去括号后，注意到除 和  外，其他分数可以在式子中找到其倒数

可得式子的值为

    4.D)

算就完了，只要会分母有理化就行

什么？你不知道分母有理化是啥？

亲 ~ 这里可以反思一下自己有没有听课呢 ~ 

    5.C)

这题要运用到一个三角形常用的面积公式  

加上一角和其补角的正弦值  相等这条性质

就可以得到  这条关键的式子

带入得  

    6.D)

遇到这种题目，第一时间要想的就是展开

展开左式后，可以得到 

得 

代入后得出答案

    7.E)

学过海伦公式的表示不慌，那没学过的咋办呢？

用一点脑袋可以知道，最短的高应该是对着最长的边

这里先画个图

根据勾股定理和基本的几何学知识，我们得到下面这些信息：

在简单的计算后，得 

    8.E)

这题是一个经典的容斥问题

原题的答案是可以被 7 整除的三位数个数减去可以被 21 整除的三位数个数

具体的过程就不解释了

    9.B)

根据题意，我们有一下几条特性：

1. 在任何 a 后不会有不连续的 b (aba)

2. 在任何 b 前不会有连续多个 a (aab)

3. 在任何 a 后不会有连续多个 b (abb)

4. 不会出现连续长度多于 3 的 a 和 b (aaaa,bbbb)

把以上特性综合起来，可以得出以下的特性：

•  a 后没有 b ， b 前没有 a (特性 1 2 3)

• 特性 4

综合上述几条特性，可得字串个格式为 "b"*n+"a"*m 的形式

由于 n 和 m 最大只能取 3 ，所以字串的长度最长为 

    10.C)

呵呵

这题不应该出现在这里，因为太简单了

注意到两个平方都是可以同时取最小值 0 的

所以原式的最小值为 4 

    11.A)

竞赛界好像有个通病

一但出现了有年份的题

大家都会很慌

这里只要用到立方差公式就可以轻松解决，过程如下：

    12.B)

一句话秒杀：

    13.D)

离天下之大谱

这题可以用排除法做

要进行排除法要知道余数的一些性质

注意到除数及被除数都可以被 3 整除，那么可以得出余数可以被 3 整除这个结论

因此排除 A , B , C 

注意到被除数除 4 后余 2 ，且除数可被 4 整除，那就有余数除 4 余 2 这个结论

因此选择 D 

    14.D)

由于推导过程过于漂亮，这里就不多做说明了

推导过程如下：

    15.C)

如果知道连续立方和公式的话这题就是送分题

看看评论区有没有人才吧