凸优化问题中数学概念（一）

凸集（Convex Set）：凸集是指对于集合中的任意两点，连接这两点的线段上的所有点都属于该集合。换句话说，凸集中的任意两点之间的线段都完全包含在凸集内部。例如，实数集、正半轴和原点为中心的球体都是凸集。

凸函数（Convex Function）：凸函数是定义在凸集上的函数，满足对于凸集内的任意两点，连接这两点的线段上的函数值都不大于线段的端点对应的函数值。凸函数的一阶导数是递增的，二阶导数非负。凸函数在凸优化中起到重要的作用。

凸组合（Convex Combination）：给定凸集中的多个点和对应的非负权重，凸组合是指将这些点按照权重线性组合的过程。具体而言，对于给定的点集合 {x1, x2, ..., xn} 和非负权重 {w1, w2, ..., wn}，满足权重之和为1（w1 + w2 + ... + wn = 1），凸组合可以表示为 x = w1x1 + w2x2 + ... + wnxn。凸组合的概念在凸优化中用于描述凸函数的性质和优化问题的解。

凸优化问题（Convex Optimization Problem）：凸优化问题是指目标函数和约束条件都是凸函数的优化问题。凸优化问题的目标是找到使得目标函数取得最小值的变量取值，同时满足一系列的凸约束条件。凸优化问题具有较好的性质，可以通过解析方法或凸优化算法求解。

凸包（Convex Hull）：给定一个点集，凸包是指包含该点集内所有点的最小凸集。凸包可以被视为将弹性线圈放在点集上，然后松弛，直到线圈完全贴合点集。凸包在计算凸优化问题的约束边界时经常使用。

锥（Cone）：指满足以下性质的集合：对于集合中的任意点 x，以及非负的实数 α，满足 αx 也属于该集合。换句话说，锥中的任意点乘以非负标量仍然属于该锥。形象地说，锥可以看作是从原点出发的一种几何形状，其具有向外扩展的性质。锥的尖端位于原点，而锥的边缘则随着非负标量的放大而扩展。在凸优化中，常见的锥包括非负实数锥、非负数向量锥、二次锥、正定半定锥、线性矩阵锥等等。

仿射集（Affine Set）：一个集合被称为仿射集，如果对于集合中的任意两个点 x 和 y，以及任意实数 α 和 β，满足 αx + βy 仍然属于该集合。换句话说，仿射集中的任意两点的仿射组合仍然属于该集合。可以将仿射集看作是平面上或者更高维空间中的一种扩展性质。与锥不同，仿射集的中心不一定在原点，而是在整个集合内部。仿射集可以是平面、直线、超平面或者更一般的几何结构。

边界（Boundary）：给定一个集合 S，其边界（Boundary）可以定义为集合 S 的闭包（Closure）与其补集的闭包的交集。数学表达式如下所示：

Boundary(S) = Closure(S) ∩ Closure(S^c)

其中，Closure(S) 表示集合 S 的闭包，是包含 S 所有限点以及 S 本身的最小闭集。S^c 表示集合 S 的补集，即包含了所有不属于 S 的元素。Closure(S^c) 表示集合 S^c 的闭包，是包含 S^c 所有限点以及 S^c 本身的最小闭集。