【银蛇出品】数学漫谈——前n项自然数幂次求和公式的求法

        前n项自然数的和怎么求？这个问题很简单，“首项加末项乘以项数除以2”，这个口诀大家都能张口就来。自然我们要问，前n项自然数平方和有没有求和公式？答案是：有。

        我们继续追问，对于3次方、4次方乃至m次方是否有求和公式？都是有的。实际上这一系列公式可以推广至任意自然数。1次方的公式十分好求，那么相应后续的公式呢？乍一看并不容易。下面介绍这一系列公式的两种求法。

求法一：数学归纳法。

        利用这种求法求前n项自然数m次幂的求和公式时，需要事先知道前m-1次的求和公式。因而当m比较大时比较麻烦。

        我们先将前n项自然数m次幂的和记为S(n,m)。当m=0时，显然S(n,0)=n。

        假设m=1,2,…,k-1时的求和公式已知，分别为S(n,1),S(n,2),…,S(n,k-1)，然后据此推导m=k时的求和公式。利用公式

令公式(2)中的n取遍1,2,…,n

累加得

稍作整理即得

推导完毕。

        我们通过例子来验证这个公式的正确性。

对比公式(1)，结果正确。可以按照这种做法一直做下去求出前n项自然数任意自然数次幂的求和公式。

求法二：待定系数法

        通过上面方法一的推导可以发现，前n项自然数m次幂之和是一个m+1次多项式。

        反向考虑这件事情，通过公式(2)，可以发现任意两个自然数m+1次幂之差可以用一个m次多项式来描述。这就说明，m次多项式可以写成两个m+1次多项式之差。而自然数m次幂其实就是前述m次多项式首项系数为1，其余各项为0的特例。这特性是个足够好的性质，能够保证变换过程中消去足够多的中间项。这样就可以说明前n项自然数m次幂之和是一个比较简单的m+1次多项式。

        知道了这件事情，我们就可以设

然后计算出在S(n,m)上任意m+2个点(i,S(i,m))，代入公式(8)中，进而解出各项系数即可。

        我们仍用m=2进行检验。

一般说来，方程组的未知数会比较多，因此建议用线性代数中的高斯消元法求解

于是也得

        我们可以利用一些结论使方程的未知数变得少一些。例如，通过S(0,m)=0可知S(n,m)的常数项为0；由公式(5)可知S(n,m)中m+1次项的系数一定是1/(m+1)；另外，1次项的系数就是伯努利数Bm(本文不介绍，感兴趣可以查阅相关资料)。那么我们通过查表知m=2时Bm=1/6，就可以设

只需要代入点(1,1)就可以求出未知系数a1=1/2。

        补充说明一点，以上两种方法所适用的范围是m为自然数。如果你很好奇，想知道m可不可以推广至整数、分数乃至实数呢？答案是不行，这种通式是不存在的，否则调和级数和Basel问题就不用花那么大力气去研究了……

        在文章的最后，让我们试着求一下S(n,3)。对除m=1以外的所有奇数，有Bm=0，于是设

代入点(1,1)和(2,9)

解之得a1=1/2,a2=1/4。于是

可以检验这个结果是正确的。