有家长提问——

两根仅长度不同的蜡烛竖直浮在水面上，无论长短，露出水面部分总是水下部分的1/7，刚开始，短蜡烛的总长度是长蜡烛露出水面部分的4倍，同时点燃后1小时，短蜡烛的总长度恰好等于长蜡烛露出水面部分，试问两根蜡烛各还需继续均匀燃烧多长时间，才能全部烧完？

【思路】

1. 这是一道变比问题，变比问题通常存在不变量[1]；

2. 变比前与变比后的不变量是两根蜡烛的长度差[2]；

3. 统一不变量的份数，使得变比前的每一份与变比后的每一份相等[3]；

4. 根据燃烧1小时蜡烛减少的份数，按正比例关系计算两根蜡烛还需燃烧的时间[4].

【步骤】

【详解】

1. 如上图所示，设刚开始长蜡烛露出水面的部分长度为a，则刚开始短蜡烛的总长度为4a，又因为蜡烛露出水面的部分是整根蜡烛的“冰山一角”，水下的长度是水上的7倍，所以长蜡烛的总长度可表示为：a+7a=8a，那么刚开始长蜡烛总长度与短蜡烛总长度的比为——
   8a:4a=2:1；

2. 1小时后，两根蜡烛的长度都发生了不同程度的减少，设此时长蜡烛露出水面部分的长度为b，则此时短蜡烛的总长度也为b，又因为一根蜡烛任何时候水下部分的长度都是水上的7倍，所以长蜡烛的总长度可表示为：b+7b=8b，那么1小时后长蜡烛总长度与短蜡烛总长度的比为——
   8b:b=8:1；

3. 从2:1变为8:1，我们能简单认为“长蜡烛变长了6份，短蜡烛长度不变”吗？这个结论显然与我们的实际观察不符[5]；究其原因，是因为“2:1”中的1份与“8:1”中的1份代表的长度不同[6]；

4. 题目说两根蜡烛“仅长度不同”[7]、“同时点燃后1小时”[8]，言外之意就是它们在1小时内减少了相同的长度[9]，根据同增同减差不变[10]，可以知道两根蜡烛的长度之差不随燃烧而改变[11]；

5. 燃烧前的长、短蜡烛长度比为2:1，长度相差2-1=1份；燃烧后的长、短蜡烛长度比为8:1，长度相差8-1=7份，既然长度之差不变，我们就不能让它一会儿是1份一会儿是7份，而应统一为[1,7]=7份[12]；

6. 为了让长度相差7份，2:1需要扩成原来的7倍：2×7:1×7=14:7；

7. 为了让长度相差7份，8:1需要扩成原来的1倍：8×1:1×1=8:1；

8. 我们终于得到了这道题真正的变比过程：14:7→8:1；

9. 现在我们可以说，“14:7”中的1份与“8:1”中的1份是相等的、具有可比性的[13]；

10. 1小时内，长蜡烛从14份燃烧到还剩8份，燃烧了14-8=6份；

11. 1小时内，短蜡烛从7份燃烧到还剩1份，燃烧了7-1=6份；

12. 检验：①两根蜡烛在相同的1小时内均燃烧了6份，符合题意；②两根蜡烛燃烧前相差14-7=7份长度，燃烧了相同长度后相差8-1=7份长度，长度之差保持不变，符合题意；

13. 既然蜡烛的燃烧速度是6份/时，还剩下1份的短蜡烛只需再燃烧：1份÷6份/时=1/6小时就全部燃烧完；

14. 还剩下8份的长蜡烛只需再燃烧：8份÷6份/时=4/3小时就全部燃烧完.

答：短蜡烛、长蜡烛分别需继续燃烧1/6小时、4/3小时才能全部烧完.

【总结】

1. 变比问题的特征是变化前有一个比，变化后有另一个比；

2. 两个比一开始不具有可比性，因为“单位1”（或者说1份量）不统一，就好比两个国家货币价值不统一，我们无法单纯从比的份数中看出大小（比方说变比前的5份不一定比变比后的2份大）；

3. 应对的办法就是找到不变量——不变量通常是两个变量的其中一个（单量），又或是它们的和与差，这个不变量不会随变比而改变，但这个不变量对应的份数通常在变比前与变比后是不同的，我们的目标就是把不变量的对应的两个不同份数统一成它们的最小公倍数那么多份[14]；

4. 随着不变量的份数扩倍，变比前与变比后的比也应根据比的性质跟着扩倍[15]；

5. 扩完倍之后的比就具有可比性了，通过量份对应，即可求出目标量.

【参考】

1. ^两个变量的数量之比随某次变化而改变的问题，根据变比原因的不同，变比过程中通常会保持两个变量的其中一个不变（即单量不变），又或者是和不变或差不变.

2. ^题目说两根蜡烛仅长度不同，所以可认为它们的燃烧速度是相同的，又因为它们是同时点燃，燃烧的时间都是1小时，所以燃烧的长度是一样的，根据同增同减差不变可以推出两根蜡烛的长度差不随燃烧而改变.

3. ^只有当变比问题中的不变量的份数统一时，变比前的比与变比后的比才具有可比性；举个例子，变量A与变量B从7:5变为2:1，我们能认为“A减少了5份B减少了4份”吗？要知道，变比前的1份是可能价值1元，变比后的1份可能价值1美元，那么变比前的比与变比后的比就不具有可比性，（可能变比前的5份都没有变比后的1份价值大），除非我们找到一个不变量C，它的价值不随A与B的变比而改变，然后我们以它为中介，将它的价值定义为n份，只要能求出A与B在变化前与C是几比几，变化后与C是几比几，就能真实反映出A与B的价值改变了几份.（因为此时的每1份价值是相等的.）

4. ^此题中的蜡烛燃烧我们进行理想化处理：①蜡烛燃烧是匀速持续进行的；②蜡烛燃烧是同时开始的；③两根蜡烛每时每刻的燃烧速度相同；④蜡烛一定会从始至终完全烧完；在这些理想化条件下，如果蜡烛1小时燃烧6份，那么燃烧3份就只需半小时，燃烧长度与时长成正比.

5. ^长蜡烛短蜡烛经历了1小时的燃烧后都变短了.

6. ^燃烧前的短蜡烛经过燃烧后长度一定变短，那么短蜡烛燃烧前后的长度比绝不可能是1:1，所以推得燃烧前的1份与燃烧后的1份代表的长度是不相等的.

7. ^也就是说除了长度以外的材质、粗细、形状等全都是一样的，从而推得两根蜡烛的燃烧速度相等.

8. ^两根蜡烛同时点燃，也就是说点燃后经历了共同的1小时，燃烧时长相等.

9. ^类比行程问题中的等量关系“路程=速度×时间”可得“燃烧长度=燃烧速度×燃烧时间”，既然燃烧速度与燃烧时间都相等，那么两根蜡烛燃烧了的长度也一定相等.

10. ^由等式的性质：设A-B=C，若A、B同时增加或减少相同的数d，则(A±d)-(B±d)=C，因此对变量A变量B而言，同增同减差不变.

11. ^准确地说应该是在短蜡烛全部燃烧完之前两根蜡烛的长度之差不变.

12. ^将不变量份数统一为原来的两种份数的最小公倍数.

13. ^因为长度之差不变，不变的长度之差对应的份数都是7份，那么每一份必然是相等的.

14. ^举个例子，甲乙的苹果数之比为2:3，乙给了甲40个之后，甲乙苹果数之比变为2:1，我们知道，无论甲乙怎么交换，苹果总数不变，而一开始苹果共有2+3=5份，之后苹果共有2+1=3份，事实上苹果总数不变，那么将5份与3份统一为[5,3]=15份即可.

15. ^接着上面的例子，变比前2:3共5份，想要扩倍为总和15份，就应前项后项乘3得6:9；变比后2:1共3份，想要扩倍为总和15份，就应前项后项乘5得10:5.