关于覆盖维数的进一步讨论 4

定义    设X是正规空间，A和B是X中不想交的两个闭集，A和B的一个分割L是指L是X中一个闭集且X＼L可表示为两个不想交的开集U和V之并且使得A⊂U，B⊂V。

关于分割，我们有下面简单的结果，证明留给读者。

引理    设X是正规空间，A和B是X中不想交的两个闭集，L是A和B的一个分割，那么存在连续函数f；X→J =【-1，1】使得   A⊂f^-1(-1)，L⊂f^-1(0)，B⊂f^-1(1)。进一步，如果X是度量空间，我们能要求上面的3个公式中⊂为=。

定理  设X是正规空间，则dimX ≤n的充分必要条件是对任意n+1个不想交的闭集对【（Ai, Bi）； i= 1,2,…,n+1】，存在它们的分割【Li ；i= 1,2,…,n+1】使得 L1∩L2…∩Ln+1 =∅

本节最后部分内容是证明局部有限和定理和Dowker定理，为此我们先证明一个引理。

引理  设X是正规空间，U=【Us；s∈S】是X的开覆盖，F是X的一个局部有限的由覆盖维数小于等于n的闭集组成的覆盖。若对任意的F∈F，F仅与有限多个Us相交，则U存在一个开收缩V使得ordV≤n。

由这个引理，我们立即得到下面的局部有限和定理。

定理  局部有限和定理         如果正规空间X可表示为局部有限的覆盖维数小于等于n的闭集族之并，则dimX≤n。

进一步，我们可以证明下面的Dowker定理，它是我们下一节证明维数重合定理的一个基础

Dowker定理  设X是正规空间，则下面条件等价；（a） dimX≤n；

（b ）X 的每个局部有限的开覆盖都存在秩小于等于n的开收缩；

（c ）X的每个局部有限的开覆盖都存在秩小于等于n的开加细。