初识泛函分析

2019-11-16 11:43 作者:nyasyamorina 0人读过 | 我要投稿

上次说了"空间"就是"点的集合", 定义一个基集合 {φ_n}, 那么在一定空间上任意一点可以用以下方式表达出来

如果基是函数, 那么这个空间就是函数空间, 而每一个点也就对应一个函数

当然已知系数A_n, 求得函数P(x)是非常非常简单的, 而泛函分析的问题是:

已知函数 f(x), 如何在基{φ_n}的空间中求得相应的坐标A_n

可能会有人问: 已知f(x)为什么还要去求A_n呢

要回答这个问题还真的有点难度, 有时候f(x)很难进行分析 (特别是含有ln的), 这时候就需要在一定范围D上把f(x)拆成更容易分析的函数φ_n的和, 但是在更多情况是解数理方程 (a(x) * dy^2/dx^2 + b(x) * dy/dx + c(x) * y + d(x) = 0)的时候, 几乎不可能解出目标的解, 只能先解到一系列简单解φ_n, 然后用这些简单的解得到符合目标的级数解

事实上, 只要规定了基函数后, 求解A_n就非常简单了, 所以先来说一下

函数的正交和归一

假设现在有两个函数 f 和 g, 类似向量的垂直, 函数也有对应的"正交", 如同向量垂直的必要条件(两个向量点积为0), 函数正交的必要条件为:

符合上述条件的非0函数, 则称两个函数正交

这个性质特别特别重要, 是泛函分析的基础, 需要牢记 (当然非正交的也会有时候碰到...)

当存在一个基函数集 {φ_n} 符合下面的条件:

则称这个函数集为 "正交函数系"

如果一个函数符合下面的条件:

那么称函数 f 是归一的

其实创造一个归一函数也并不困难, 只要任意一个"快速收敛"的函数除以自身的模就可以得到一个归一函数了, 所以归一性在泛函分析里并不太重要

如果一个函数集 {φ_n} 内, 每一个函数都满足归一性, 那么这个函数集就是 "标准函数系"

特别地, 同时满足正交和归一的函数集就叫做 "标准正交函数系", 这种函数系在数学和物理上都有十分重要的应用

在正交函数系中分解函数

在一般的标准正交向量空间中, 假如有向量v = [... A_k-1 A_k-1 A_k A_k+1...], 那么提取第k个A的值可以用第k个基与v作点乘

同理, 在标准正交函数空间中也有类似的定义:

假设在定范围D中, 函数 f(x) 可以被标准正交函数系{φ_n}分解, 那么有:

其中:

注意: f_D(x) 并不绝对等于f(x), 在区间端点和间断点很有可能并不会相等, 而在连续光滑的区间是相等的

证明 (可以跳过):

首先假设存在一个函数 f_D(x) 在标准正交函数系 {φ_n} 张成的空间內, 并且在范围D内一致等于 f(x), 那么 f_D(x) 满足下列条件:

1. f_D(x)为φ_n 的线性组合, 2. f_D(x)与f(x)不相等的区域D`, 在D内D`占的比例为0, 也就说明D`内的积分为0

则有:

既然 {φ} 是标准正交的, 那么有:

上面等式右端就为A_k, 证毕

类似地, 如果函数系 {φ_n} 正交但是不标准, 则有以下分析方法

函数系的完备性以及重新理解傅里叶级数可以跳过

在区域 [0, 2pi] 中, 明显有两个正交但不标准的函数系 {sin(nx)} 和 {cos(nx)}

那么任意函数 f(x) 可以在[0, 2pi]中, 使用{sin(nx)}作分解吗

来观察{sin(nx)}的前4项图像

可以看到整个函数系以pi这一点有中心对称的关系, 那么{sin(nx)}经线性组合得到的函数 f_D(x) 也必定有中心对称的关系

但是这并不满足我们一开头就提出的 "任意函数 f(x)" 的条件

所以尽管{sin(nx)}是一个正交函数系, 但是它并不能对任意函数进行分解, 那么则称{sin(nx)}在[0, 2pi]中不完备

完备正交函数系的充要条件为:

明显可知, 在[0, 2pi]上另一个正交函数系{cos(nx)}也是不完备的

但是幸运的是, {sin(nx)}和{cos(nx)}是线性无关的(就是不能互相使用线性组合表示对方), 并且两个函数系互相正交, 那么两个合拼在一起的函数系: {{sin(nx)}, {cos(nx)}}也是一个正交函数系, 并且可以证得以下关系式成立 (其实我也不会证明)

对于任意 f(x), 在[0, 2pi]上有:

并且因为{{sin(nx)}, {cos(nx)}}是正交函数系, 并且简单有:

那么根据正交函数系分解函数的方法可得:

这里的结果是跟高数里的傅里叶级数的结果一致的

重新理解傅里叶变换

在有些时候, 函数系{φ_n}中的n, 并不是取离散的0, 1, 2...., 而是取连续的实数(甚至复数), 这个时候函数系绝对不会是正交函数系, 但是如果存在一个下标为离散的正交函数系 {Φ_n}, 并且{Φ_n} 是 {φ_n} 的一个子集, 那么{φ_n}也有类似正交函数系的性质(但是并不是完全相同的)

这里有一个函数系 {φ_ω(t)}={e^(iωt)} 下标ω为实数并且存在一个子函数系 {Φ_n(t)}={e^(-int)} 下标n为整数, 容易证明{Φ_n(t)}是一个在实数范围的正交函数系, 那么类似正交函数系, 有: