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第二章 导数与微分

第一节 导数概念

一、引例

a.直线运动的速度

概念：

• 位置函数：设动点于时刻t在直线上的位置的坐标为s（简称位置s），这样，该点的运动完全由某个函数s=f(t)所确定，此函数对运动过程中所出现的t值有定义，称为位置函数。

• 匀速运动：无论取哪一段时间间隔，比值——经过的路程/所花的时间——总是相同的，这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动。

• 平均速度：从时刻t0到t这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置s0=f(t0)移动到s=f(t)，这时算得的比值(s-s0)/(t-t0)=[f(t)-f(t0)]/(t-t0)——可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。

• 瞬时速度：令t→t0，取上式极限，如果这个极限存在，设为v，即
  

    ——把这个极限值v称为动点在时刻t0的（瞬时）速度。

b.切线问题

概念：

• 圆的切线：与曲线只有一个交点的直线。

• 曲线的切线：设有曲线C及C上的一点M，在点M外另取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线——

  极限位置：只要弦长|MN|趋于零，∠NMT也趋于零。

• 割线斜率：设M(x0,y0)是曲线C上的一个点，则y0=f(x0)，要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就行了，为此，在点M外另取C上的一点N(x,y)，于是割线MN的斜率为tan φ=(y-y0)/(x-x0)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0)。

• 切线斜率：当点N沿曲线C趋于点M时，x→x0，如果当x→x0时，上式的极限存在，设为k，即
  

    ——存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率，

    ——这里k=tan α，其中α是切线MT的倾角，于是，

    ——通过点M(x0,f(x0))且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线。

二、导数的定义

a.函数在一点处的导数与导函数

定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为f'(x0)，即

b.求导数举例

例子：

c.单侧导数

定义：函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的定义，导数

是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此f'(x0)存在即f(x)在x0处可导的充分必要条件是左、右极限

都存在且相等，这两个极限分别称为函数f(x)在点x0处的左导数和右导数，记作

左导数和右导数统称为单侧导数。

三、导数的几何意义

切线方程：y-y0=f'(x0)(x-x0)

法线方程：y-y0=-f'(x0)/(x-x0)

四、函数可导性与连续性的关系

关系：

1. 如果函数y=f(x)在点x处可导，则函数在该点必连续；

2. 一个函数在某点连续却不一定在该点可导。