【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep31】实数世界（七）
今天按计划解决实数论的最后一个问题——线段的度量。
平心而论，老碧之前读的时候，一直觉得这部分有点绕，所以基本上都是直接跳过的。但是今天仔细捋了一下之后，发现理清楚那绕来绕去的表达还是很有意思的——
如果老碧模糊的印象没出问题，这个定义的起点，用到了欧几里得的叙述方式和措辞：
因为年代久远，并且，古希腊数学是以几何为核心的，所以对我们已经习惯了几何的解析化（代数化）表达的思维，会有点点不适应，但是看明白了就会很有趣。
之所以需要叙述明白这个问题是因为，我们还记得教材的起点——
我们最先发现“有理数的不完备性”就来自于，求“边长为1的正方形的对角线的长度”——
所以，我们定义扩充完了数系就得把那个最原始的问题解决了：我们要，重新回到几何的领域，去聊聊那些无法以有理数定义长度的线段。
而这一部分叙述的最后又提到了关于数轴的定义，则又回到了近代数学笛卡尔创立的解析几何范畴，这样我们就可以顺承数形的统一性，然后进入数学的第三大分支，分析学的基础内容了。
书中先提出了要聊的问题——
21线段的度量
这个话题其实是在呼应本书开头提出的问题，我们发现了“边长为1的正方形的对角线的长度”不能在有理数范围内找到对应，于是，要求我们扩充数系，而扩充数系的目的，就是为了重新给出线段长度的定义，并且，数轴上（一维空间中）不存在不能被新数——实数表示的点，即，数轴上的点与实数能实现一一对应。
接着书上给出了线段度量的三条公理性的设定，简称“公设”——
这三条设定分别是——
给出了单位长度的概念——预先给定线段E的长度设为1，记作l（E）=1——l（X）即为线段长度的符号表示，X表示任意线段。
给出了线段相等的定义——相等的线段有同一的长，即若线段A=B，意味着，l（A）=l（B）。
给出了线段加法的定义——线段相加，和的长等于长度的和，即，l（A+B）=l（A）+l（B）。
注：
“公设”这个词源于欧几里得《几何原本》，这本书最先给出了，“根号二是无理数”的的证明——书中叙述为，根号二是不可公度的，菲书采用了“公设”和“公度”这两个概念——史济怀老师的《数学分析教程》各版本的前两节都简要叙述了数轴的内容。
关于线段加法的这个定义，如果学过同构映射，会对这个形式有一定敏感性，《高等代数》的内容，感兴趣的同学可以去看丘维声老师的公开课。
给出线段长度加法与线段加法的关系，是为了将关于线段转化为线段长度来验证相关性质更方便，线段长度是数，一定要记住哦！
对于线段的度量，书上按照“与单位线段可共度的线段”和"与单位线段不可公度的线段"两种情形来讨论——
1.与单位线段可共度的线段的度量——
然后书中给出了“公共度量”的概念，简称“公度”，来自于《几何原本》的另一个概念——
“公度”指的是——两个线段的长度同时是某一条给定线段长度的倍数——这里的给定线段即为“把单位线段E等分成q份所得的线段”，我们不妨记给定线段为Y，所以，对于任意一个由给定线段相加有限次数p得到的线段A，我们有——
l（E）=q[l（Y）]；
l（A）=p[l（Y）]；
由1、2，以及数的运算性质，l（A）/l（E）=p[l（Y）]/p[l（Y）]=p/q，即l（A）=（p/q）[l（E）]。
——即A的长度可以用E的长度和有理数的乘积直接表出。
于是由3我们得到如下结论——
我们取的公共度量（给定的线段）大小不会影响我们要取得的结果，所以我们解决了所有“与单位线段可公度的线段”的度量——
显然这些线段的长度对应有理数p/q，即这些线段对应有理数p/q；
反之，任给一个有理数p/q，我们可以按照上述操作得到一个对应长度的线段；
故而，“与单位线段可公度的线段”与有理数实现“一一对应”。
接着我们考虑情形二——
2.与单位线段不可公度的线段的度量
先借助线段加法的定义，给出了不同的长度的线段的关系——
我们知道：
如果线段A大于线段B，则，那么我们由几何直观，在线段B上加上某一段线段C，则可得到A，即——A=B+C，则l（A）=l（B+C）；
由线段加法的定义，l（B+C）=l（B）+l（C）；
由1、2，得l（A）=l（B）+l（C）；
因为l（C）>0，则l（A）>l（B）。
由此我们得出了不同长度线段的关系——
不相等的线段由不等的长度，较长的线段对应较大的长度，即线段到长度的映射是单值的。
在我们考虑情形二的时候，会用到线段和它们长度的关系——
我们已经验证过有理数和“与单位线段不可公度的线段”是一一对应的关系。
那么，依照“排中律 ”，另一种线段——与单位线段不可公度的线段则无法对应到任何有理数，即其长度无法由有理数表示。
我们采取无限逼近的思想——
对与单位线段不可公度的线段Z的长度，我们可以用两组与单位线段可公度的线段S与S'的长度无限逼近它，即l（S）<l（Z）<l（S'），对任意小正数e>0，存在S，S'，使l（S'）-l（S）<e——
我们记l（S）为s，记l（S'）为s'；
我们把所有负有理数，0，和s放入下组，把所有s'放入上组；
显然下组任意数小于上组任意数，上下组覆盖了所有有理数，我们得到了一个有理数的分划，于是我们得到界数z；
显然我们之前验证了无数遍了，z是s与s‘之间的唯一数，且z肯定不是有理数，因为我们在一开始定义的时候，明显s和s'都取不到边界值l（Z），于是l（Z）=z。
由此我们得到了，与单位线段不可公度的线段Z的度量——与无理数的定义很显然是对应的。
接着由这种方式，定义任意线段的加法——
对任意两个线段P和Z，长度即为p=l（P），z=l（Z），我们用逼近的方式定义它们的和——T=P+Z的长度t=l（T）——
我们分别用两组有理数r，r'，s，s'无限逼近p和z，r<p<r'，s<z<s'，所以r+s<p+z<r'+s'——对任意小正数e，存在r，r'，s，s'，使得r'-r<e/2，s'-s<e/2；
我们取长度为r的线段记作R，长度为r'的线段记作R'，长度为s的线段记作S，长度为s'的线段记作S'；
因为，线段R+S的小于T，线段R'+S'的大于T，所以由线段和它们长度的关系，较大的线段对应较长的长度，我们得到，r+s<t<r'+s'，；
又因为对于任意小正数e，（r'+s'）-（r+s）=（r'-r）+（s'-s）<e，所以r+s与r'+s'之间的数是唯一的，所以t=p+z。
由此我们证明了任意线段的可加性，显然满足公设3的条件。
最后给出了数轴的定义——即解析几何的方法将几何的方法向数转化——
约定——
原点——对应恒元0；
单位长度——对应单位元1；
正方向：长度为正——对应正实数；
则得出相反的方向对应的线段：长度为负——对应负实数。
由此我们使得实数与数轴实现了”一一对应“——
有了解析几何的思想，我们只要研究清楚表达式的性质，就可以对应得出相应的几何性质。
下一周，正式进入微积分运算的基石——”极限论“——而后，我们现在的许多表达法，都可以得到更加严谨深刻的认知！
不见不散！
