不确定性原理的证明

不确定性原理不是在量子力学诞生后才发现的, 而是早在19世纪就已经被数学家发现的了, 只不过是在量子力学里发展出三种不同的不确定性而已

不确定性原理是在傅里叶变换中演变出来的, 不知道WFT的读者可以去找一下相关的资料或者看一看我之前发的专栏

窗中心与窗口大小

WFT里的核心概念就是窗函数, 而窗函数分为时窗函数和频窗函数两个 分为的意思不是两个独立的函数, 频窗函数是时窗函数的傅里叶变换, 而时窗频窗都符合一系列的要求, 就把时窗频窗函数统称为窗函数

实际上构造一个窗函数并不复杂, 随便选取一个有界有界就是在全体实数中不会有无穷大出现且在无穷处等于0的函数, 然后把函数除以自身的内积, 使得新函数内积为1, 那么这个新函数就是时窗函数, 而这个时窗函数的傅里叶变换就是频窗函数了

上面的东西应该在WFT里面就说的, 然而我忘了

既然是窗, 那么这个窗就应该有中心位置和窗口大小两个参数

如果窗中心是一个不等于零的数 t` , 代表着在 t=t0 时做WFT分析,  实际上分析的数据中心为 t0+t`

时窗中心 t^* 可以由以下方法求出     w(t) 是时窗函数

求出时窗中心之后就可以求出时窗半径了

WFT的思想就是把数据局域化再进行分析, 那么局域化的范围就是以时窗中心为中心, 半径为时窗半径内的范围了

那么时窗半径 Δt 可以用以下方法求出

同理我们可以定义频窗中心和频窗半径   w_hat(ω) 是频窗函数

同理, 频窗中心和频窗半径与时窗的定义基本上一模一样, 区别只是一个是时间上, 另一个在频率上

所以不确定性原理说的是什么东西

如果我们在平面直角坐标系里, 把横轴当作 时间t轴, 竖轴当作 频率ω轴, 把相应的时窗频窗函数画在轴上,  而且把相应的中心用线条标出,  把时窗和频窗对应的局域化范围标出, 则得到以下图像

那么时窗频窗中心的交点 (t^*, ω^*) (就是黑色那一点) 就叫做窗中心,  而时窗频窗局域化相交的区域 [t^*-Δt, t^*+Δt] * [ω^*-Δω, ω^*+Δω] 就叫做开窗区域

不确定性原理说的就是开窗区域的面积不会小于某一个数字,  也就是说时间和频率上可以确定的范围的乘积不会小于一个数字,  也就是在说时间和频率不能同时确定到一个很小的数字

以下就是比较直观地感受这个效应

可以看到当时窗半径减少时, 频窗半径就会增大, 反之亦然, 也就说明开窗区域的面积总会大于一个数字

不确定性原理的证明

这里需要关于函数内积的知识, 可以参考我昨天发的专栏

以免占用巨量篇幅, 我这里直接做成图片, 需要的可以直接保存图片慢慢研究

量子力学的测不准原理

"你说的我都懂, 可是这和量子力学有半毛钱关系?"

这就提到了量子力学有趣的地方了

众所周知. 量子力学里描述粒子的东西叫做 "波动方程"  学矩阵力学的可以在旁边歇一歇了

一般说的波动方程是关于位置和时间的, 即是以下的形式

而且取这个关于位置, 时间的波动方程的傅里叶变换, 得到的新方程居然是关于动量, 时间的, 即:

"测量" 这个过程其实和WFT大同小异, 都是把一个信号(方程)局域化再进行分析, 所以傅里叶变换的不确定性原理在 "测量" 这个过程中也会跑出来,  并且 动量p = 质量m * 速度v,   人们是可以准确测量粒子的质量, 于是得到:

其中约化普朗克常数是处理人们因为乱取单位出现的修正常数

经常会看到类似 "如果什么什么常数比现在大一点小一点, 宇宙会变得怎么样" 或者 "为什么基本常数是现在的样子",  我只能说这种假设是完全没有必要的, 实际上只要选取合适的单位长度, 单位时间等,  所有基本常数都会变成1, 但是不使用这种单位制的原因就是因为这种单位制比日常生活的尺度大或小几十个数量级, 对日常生活毫无作用

量子力学中3种测不准原理都是在不同情况时由傅里叶变换的不确定性原理得出, 这里就不不说怎么分部推导这3种情况了

这里推荐可以去看一看3b1b的关于不确定性的视频, 非常不错的一个视频

https://zh.wikipedia.org/wiki/不确定性原理