【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep103】函数不定式（三）

今天继续通过一些例题来讨论函数的不定式：

d.x趋近于0时，lim [（1+x）^（1/m）-1-x/m]/x^2=（m-1）/2m^2

1. 令（1+x）^（1/m）-1=y，x=（y+1）^m-1，

2. [（1+x）^（1/m）-1-x/m]/x^2

   ={y-[（y+1）^m-1]/m}/[（y+1）^m-1]^2

   ={y-[1+my+m（m-1）y^2/2+……-1]/m}/{[1+my+m（m-1）y^2+……]-1}^2

   =[（m-1）y^2/2+……]/[m^2y^2+……]；

3. x趋近于0时，lim [（1+x）^（1/m）-1-x/m]/x^2=（m-1）/2m^2.

注意：这次证明和上次x趋近于0时，lim [（1+x）^r-1]/x=r，r>0，r是有理数证明中的代换，都是为了把根式转化为整数次幂的形式，然后可以直接利用多项式分式的讨论去证明这件事。