贝尔不等式的推导

最近刚好有在学习一点基础量子信息学的知识，又偶然发现物理魔法使竟然讲了贝尔不等式，结合看的课本上的内容发现魔法使讲得确实也没什么问题，也确实通俗易懂（可能是二次元美少女讲物理在我心中的加成吧）。不过有一点符号和名词的使用可能不太严谨，比如在

时讲到的“AB粒子在任意两个方向自旋方向的相关性”，这里的指代对象好像不太明确，但视频后面提到了贝尔不等式的另一个版本，“图像和三角函数的相关性”，我觉得哈娜可能指的是这个，实际上这是贝尔不等式的违反的实验中所采用的一种“形式”，或者应该说“方法”？因为我的了解也有限，所以在此就不再多说了。

另外还有后面P_xy，P_zy，P_xz的引入——

“它指的就是A在x方向和B在y方向测量的自旋方向相同的概率”，这里“概率”一词造成了包括我在内的一部分人的不理解，因为在后续的计算中出现了互斥事件概率直接相减的情况。

但实际上哈娜进行的计算并没有什么问题，这也是我参考了书本以后知道的，虽然哈娜说是“概率”并且符号也用了P，但实际上这里进行的就是简单的代数运算，运算不具有概率意义。所以哈娜写的都是对的～

在此也放上一点参考资料，是Michael A. Nielsen 和Isaac L. Chuang写的Quantum Computation and Quantum Information。其中在2.6节EPR and the Bell inequality中讲了Bell不等式的“一部分”——CHSH不等式。

本质上，Bell不等式的违反实验就是对EPR三人对量子力学的否认的最大否认——“上帝确实掷骰子”。用很不严谨的例子来说，设想我和哈娜此时一个在北极，一个在南极，有人在上海造了一个装置，可以把一双手套<不根据手套的手性>地完全随机地分发到两个不透光盒子里然后<不根据手套的手性>地完全随机地分别发给我们两人，再次强调，分装和分发过程是<不根据手套的手性>地完全随机的，也就是说在我们两人任何一人打开盒子前，我们、甚至包括这个装置都不知道盒子里装的是左手还是右手。现在问一个问题，“我打开盒子时里面装的是左手还是右手”这件事是什么时候确定的？我们都会回答是在分装手套和分发盒子的时候确定的——这符合常识和我们生活在的宏观世界中的“定域性假设”：不是<我在北极打开盒子看到左/右手>这件事决定了<魔法使在南极开盒子看到右/左手>，而是<机器的随机分发>决定了<我在北极打开盒子看到左/右手>和<魔法使在南极开盒子看到右/左手>。事实也的确如此。

但假如这个例子中的那对手套换成某对粒子，就像魔法使视频中的“一个粒子衰变为两个”这种，它们的行为和宏观物体不同——量子的效应在他们的尺度下开始变得明显了起来，情况变得非常不一样了。这里再次强调，类似手套的情况，两个粒子的分发也是不根据粒子自旋方向的分发（这避免了观测，如果不理解那就不用理解了）给了南北极两人，也类似手套的情况，我打开盒子观测粒子后发现粒子自旋向上就意味着，哈娜测量的结果是向下。

现在再问一遍那个问题，“我打开盒子时里面装的粒子自旋向上还是向下”这件事是什么时候确定的？答案变得大不一样了：是在我进行观测的时候确定的。这也意味着一个更离谱的事情：<我在北极打开盒子测到自旋向上/下>这件事决定了<魔法使在南极开盒子测到自旋向下/上>！

太多问题随之衍生，我只简单说明寥寥几个，不保证看的人能明白。

Q：那在两人中某人观测之前，粒子是什么状态，自旋向上向下？

A：叠加态。粒子处于自旋向上向下两个状态的叠加状态，不是“既向上又向下”，叠加态就是叠加态，数学上的表示是一个复向量，每个本征态（可粗略理解为观测的可能结果）的分量的模的平方就是观测的结果是这个本征态的概率。

Q：这是否违反了相对论？难道没有发生超光速的信息传递吗？

A：没有。背后的原因说来话长，但你可以粗略理解为，我观测以后需要告诉哈娜我观测的结果后她才能不用观测地知道她的粒子的状态。

Q：那这还有用吗？

A：有用。可以用于加密通讯。

还有很多问题，比如微观和宏观的界限是什么？为什么手套的行为和粒子的行为不一样？什么时候量子效应才会变得“明显”？什么是观测？等等，这些就在这篇笔记的范围之外了。

最后，希望您看了以后有所收获。我本人也才疏学浅，学了一点就开始卖弄装逼，所以如果我写的有什么错误还是希望大家进行斧正。