如何确定探测器的引力弹弓序列【航天科普32】

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       在伽利略号任务时期，科学家们就在使用复杂的引力弹弓序列把航天器送去不同的行星。科学家们可以用软件计算出一个引力弹弓序列下最佳的发射日期和飞行时间，但是却不能找出最为适合的引力弹弓序列。科学家们仍需找出一个办法能够帮助我们选择最佳的引力弹弓序列。

       在讲述这个方法前，我们首先需要了解一下引力弹弓的工作原理，并了解一下引力弹弓的基本特征。

什么是引力弹弓？

      引力弹弓是指航天器在飞掠行星前后，航天器在日心系下的速度发生了改变。

       我们知道，当航天器飞掠一个行星时，其轨道为双曲线轨道。这与深空探测器点火加速进入的逃逸轨道时是一样的。理想状况下，航天器在飞掠行星后的飞行轨迹将逐渐靠近双曲线的渐近线，而航天器因为远离了行星，其速度将逐渐趋于恒定。我们把这个速度称为双曲线剩余速度，用于评判航天器与行星的相对速度。既然是双曲线轨道，很明显航天器飞掠行星前后的双曲线剩余速度是一样的。于是，相对于行星而言，航天器在飞掠前后的速度是没有改变的，但是航天器的速度方向发生了改变。

       航天器相对于行星速度方向的改变也当然会改变航天器在日心系下的速度，下面的图很好的解释了这一现象。图中VPlanet代表了行星在日心系下的速度矢量，Vin∞和Vout∞分别代表了航天器在飞掠行星前后相对于行星的双曲线剩余速度。我们把Vp与Vin∞和Vout∞分别相加，就能得到两个长度不相等的矢量，这就是航天器飞掠行星前后日心系下的速度矢量。

       经过引力弹弓，航天器的日心系速度发生了变化，轨道形状、方向和能量也发生了变化，这样就使得航天器可以到达更远的地方。

我们能从一次引力弹弓得到什么？

       在一次引力弹弓中，我们通过查询星历，可以知道引力弹弓时天体的速度矢量和对日距离；我们也能通过测控知道航天器的双曲线剩余速度的大小与方向。有了这些，我们就能确定航天器弹弓前后日心系下的速度矢量。这时，航天器就相当于在一个确定的位置上有一个确定的速度大小和方向（不考虑轨道指向）。我们就能通过计算得到航天器唯一的轨道形状（半长轴和偏心率）。也就是说，给定了以上数据，我们就能确定出航天器在飞掠行星前后轨道的变化情况。

什么是Tisserand图？

       Tisserand图是以航天器轨道周期或轨道能量为纵轴，轨道近日点为横轴的能量等高线图。可以用于确定引力弹弓序列。我们在图上随意取一点，就有确定的轨道周期/轨道能量和近日点，能确定唯一的轨道形状。

       需要注意的是，由于该类图只用于确定引力弹弓序列，不考虑轨道倾角、行星轨道偏心率和行星相位。下文均如此。

        我们能看到，图中有许多曲线，我们拿出其中一条进行解释。

       图中α为航天器双曲线剩余速度矢量与行星速度矢量的夹角，取值范围为[0°,180°]（思考：为什么不是[0°,360°]）。V-∞和V+∞即航天器飞掠前后的双曲线剩余速度矢量，VPlanet即行星日心系下的速度矢量。

       图中是一条“能量”等高线，在这条线上，航天器在飞掠行星时的双曲线剩余速度是一致的，此处为5km/s。而不同的飞掠方向使得航天器拥有了不同的轨道形状。

       我们可以看到，曲线的左端是α=180°时代表一种轨道形状的点，曲线的右端是α=0°时代表另一种轨道形状的点。在飞掠前后，只有α会发生改变，相当于一个点在这条曲线上发生了滑动，其代表的轨道形状也发生了相应的变化。

       但是，航天器单次滑动的长度是有限制的。航天器一次引力弹弓的偏转角的受限制的，过大的偏转角可能会使航天器撞击行星表面或进入行星大气层。我们一般从α=0°开始，每过一个最大偏转角画一实心点，两点之间的曲线段代表单次引力弹弓所能滑动的最大范围。

       若一次引力弹弓偏转有限，可以通过共振轨道进行多次滑动。在不施加深空机动和不飞掠其他行星的情况下，航天器通过共振轨道可以在一条能量等高线上的所有曲线段上滑动。

       这时我们再加入另一条曲线。这是航天器与火星的双曲线剩余速度为4km/s时的“能量”等高线。

       这两条曲线存在交点。假如航天器的轨道形状位于其交点上，就意味着航天器处于地球与火星的一条转移轨道上（不考虑行星相位）。其中飞掠地球时的双曲线剩余速度为5km/s，飞掠火星时的双曲线剩余速度为4km/s。假如我们在地球的这条曲线上，我们可以通过引力弹弓让航天器所处的点“滑动”到此交点上，就能够进入地火转移轨道，甚至能继续与火星交会，并使点在火星的曲线上“滑动”。

       通过把航天器的飞行化为点的“滑动”，我们就能在一个完整的金星、地球、火星、木星Tisserand图上找到一条适合的引力弹弓序列。如果是要节省逃逸燃料，我们需尽可能处于能量较低的地球能量等高线上。

       注：航天器从地球出发就相当于出现在地球能量等高线上的任意一点。我们可以选择所处的能量等高线，也可以选择不同的逃逸方向。

       太阳系外层的彗星经常会飞掠木星，就会出现引力弹弓现象。通过Tisserand图，可以确定彗星是否曾经经历过引力弹弓，是否就是之前所观测到的彗星。

       许多玩过KSP的人都会在使用引力弹弓时遇到以下情况：引力弹弓有时无论怎么调都只能升轨或降轨。这是因为一条能量等高线不是无限延伸的，也许航天器所代表的点正在处于曲线的两头。此时航天器的轨道与行星轨道相切，无论怎么调整方向，航天器所代表的点只会向中间滑动。如果你想在这种情况下继续变轨，就需要进行深空机动、或借助其他行星的引力弹弓，进入另一条能量曲线。

参考资料

[1]袁建平. 航天器深空飞行轨道设计. [M]. 中国宇航出版社. 2014.  

[2]de la Torre Sangrà David,Fantino Elena,Flores Roberto,Calvente Lozano Oscar,García Estelrich Celestino. An automatic tree search algorithm for the Tisserand graph[J]. Alexandria Engineering Journal,2021,60(1).

[3]The First Planetary Probe Encounter of the Earth – NASA’s Galileo on December 8, 1990 | Drew Ex Machina. https://www.drewexmachina.com/2020/12/08/the-first-planetary-probe-encounter-of-the-earth-nasas-galileo-on-december-8-1990/