3.6.4 拍

当两列不同频率的波叠加时，为方便起见，我们令两列波振幅相同，当时间起点恰当时，两波源在某点的振动方程为：

那么在该位置

当

时，上式两个余弦函数中，后者的周期远大于前者的周期。可以认为在前者变化时，后者几乎不变。将

看成新的振幅，该振幅随时间缓慢变化，这种运动称为“拍”。由于振幅没有正负，振幅变化频率为上面对应频率的两倍

满足

振幅变化的频率也称为拍频。

例6.装置于海底的超声波探测器，发出一束频率为30000Hz的超声波，被向着探测器驶来的潜艇反射回来，反射波与原来的波合成后，得到频率为241Hz的拍.求潜艇的速率.设超声波在海水中的波速为1500m/s.

解：由多普勒效应，潜艇接收和反射的频率

探测器接收的频率

由于拍频,

解得

3.6.5 张力

纵波

为了介绍介质张力与波速的关系，我们用一个简单的模型来表示。

例7.质量为m的一系列小物块用劲度系数为k的小弹簧等间距地连结成一排，构成一条弹性链。平衡时，相邻物块间的间距为d，如图所示。当左边的物块作圆频率为的左右简谐运动时，此运动将自左至右逐渐传播，使各物块相继作同频率、同幅度的振动。设，求此运动传播的速度。

由于所有物块的振动形成了稳定的波，相邻物块振动的相位差相等。不妨假设第i个物体相对平衡位置的振动方程为

加速度为

则第i个物体所受的合力为

将上面3式代入

得

左式为

利用和差化积，可化简为

故有

即

左式可以小量近似

相位落后时间差

波速

我们将上面的模型与张紧的均匀细绳类比，由于质量分布均匀，则弹簧原长为0。

我们引入质量线密度

以及此时弹簧的弹力

那么张紧的细绳中的波速公式可以写成

另外，kd也可以理解为单位长度弹簧的劲度系数。

横波

上面的例子描述的是纵波，对于横波，我们看下面这道例题。

例8.如图所示，一个脉冲波在细绳中传播，若绳的线密度为，绳中张力为T，试求脉冲波在绳上的传播速度v.

如图，假设波速向右，大小为v，选取水平向右速度为v的参考系，则绳子最高点具有向左的速度，对应曲率半径为R，此时绳中弹力为T，由两弹力合力提供向心力，得

由小量近似，得

即

3.6.6 *能流

我们以纵波为例，介质波动方程

取长度为微元，速度

微元动能

微元形变量

令k为单位长度劲度系数，则弹性势能

代入

得

微元总能量

空间能量密度

能流定义为单位时间内通过某个截面的能量

对时间取平均，得平均能流

3.6.7 练习

练1.如图所示，音叉P沿着半径r=8m的圆以角速度做匀速圆周运动．音叉发出频率为的声波，声波的速度为v=330m/s．观察者M与圆周共面，与圆心O的距离为d=2r． 求观察者观察到的最高和最低频率。

答案：554Hz，456Hz.

练2.如图所示，地面上的波源S与探测器D之间的距离为d，在探测器D处测得从波源S直接发出的波与从波源S发出又经高度为H的水平层B反射后的波的合成信号强度最大，当水平层逐渐升高距离h时，在探测器D处测到的信号消失．设波在水平层的反射角等于入射角，不考虑大气的吸收，求波长与d、h、H之间的关系．

答案：

练3.图所示，一端固定在台上的弦线，用支柱支撑其R点和S点，另一端通过定滑轮吊一个1.6kg的重物，弹拨弦的RS部分，使其振动，则R、S点为波节，其间产生三个波腹的驻波，这时，如在弦的附近使频率为278Hz的音叉发音，则5s内可听到10次拍音，换用频率稍大的音叉，则拍音频率减小，测得RS=75.0cm，求

（1）驻波的波长（2）驻波的频率（3）弦线的线密度

答案：（1）50cm（2）280Hz（3）