A-3-6波动(1/2)

2023-09-05 19:39 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

3.6.1 多普勒效应

一维情形

我们先考虑波源和接收者速度共线的情形，以简谐波为例，以向右为正方向，考虑右行波，对应的波动方程

$y%3DA%5Ccos(%5Comega%20t-kx)$

其中 $%5Comega%3D%5Cdfrac%7B2%5Cpi%7D%7BT%7D$ 为圆频率 $%EF%BC%8Ck%3D%5Cdfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Clambda%7D$ 为波矢。则波速

$u%3D%5Cdfrac%7B%5Comega%7D%7Bk%7D$

当波源在以向右的速度 $v_s$ 运动时，以波源为参考系，波的频率 $%5Comega$ 不变，波速

$u'%3Du-v_s$

则任一点波动方程

$y'%3DA%5Ccos(%5Comega%20t-%5Cdfrac%7B%5Comega%7D%7Bu-v_s%7Dx')$

在原参考系中

$y'%3DA%5Ccos%5B%5Comega%20t-%5Cdfrac%7B%5Comega%7D%7Bu-v_s%7D(x-v_st)%2B%5Cvarphi%5D$

即

$y'%3DA%5Ccos%5B%5Cdfrac%7Bu%7D%7Bu-v_s%7D%20%5Comega%20t-%5Cdfrac%7B%5Comega%7D%7Bu-v_s%7Dx%5D$

此时频率

$f%3D%5Cdfrac%7Bu%7D%7Bu-v_s%7D%20%5Cdfrac%7B%5Comega%20%7D%7B2%5Cpi%7D%3D%5Cdfrac%7Bu%7D%7Bu-v_s%7D%20f_0$

波长

$%5Clambda%3D%5Cdfrac%7B2%5Cpi(u-v_s)%7D%7B%5Comega%7D%3D%5Cdfrac%7Bu-v_s%7D%7Bf_0%7D$

假设波的接收者以v的速度向右运动，则此时接受者的波动方程

$y''%3DA%5Ccos%5B%5Cdfrac%7Bu%7D%7Bu-v_s%7D%20%5Comega%20t-%5Cdfrac%7B%5Comega%7D%7Bu-v_s%7D(x%2Bvt)%5D$

即

$y''%3DA%5Ccos(%5Cdfrac%7Bu-v%7D%7Bu-v_s%7D%20%5Comega%20t-%5Cdfrac%7B%5Comega%7D%7Bu-v_s%7Dx)$

可见此时接收到的波的频率

$%5Comega'%3D%5Cdfrac%7Bu-v%7D%7Bu-v_s%7D%20%5Comega$

代入

$%5Comega%3D2%5Cpi%20f$

得

$f'%3D%5Cdfrac%7Bu-v%7D%7Bu-v_s%7Df_0$

此即波的多普勒效应，接收到的波的频率与介质中波速、波源速度以及接收者的速度有关。

例1.一频率为1000Hz的声源以10m/s的速度运动，若有速度为5m/s的风朝声源移动的方向吹，已知声速为C=340m/s.试求：（1）声源前的波长；（2）当声源离开一静止的观测者时，观测者得到的频率。

解析：（1）由于风在运动，此时波速

$C'%3DC%2Bv_%E9%A3%8E%3D345m%2Fs$
波长

$%5Clambda%3D%5Cdfrac%7BC'-v_s%7D%7Bf_0%7D%3D%5Cdfrac%7B345-10%7D%7B1000%7Dm%3D0.335m$
（2）以风为参考系，对右行波，此时声源速度

$v_s%3D-5m%2Fs$
观测者速度

$v%3D5m%2Fs$
故频率

$f'%3D%5Cdfrac%7BC-v%7D%7BC-v_s%7D%3D971.0%5Cmathrm%7BHz%7D$
该频率不会随惯性参考系的变化而变化。

二维情景

当波源和接收者速度不共线时，我们只需要考虑二者沿着波传播方向的分速度即可，此时接收到的频率

$f'%3D%5Cdfrac%7Bu-v_%7B%2F%2F%7D%7D%7Bu-v_%7Bs%2F%2F%7D%7Df$

需要注意的是，波的传播方向并不是二者刚开始的连线方向。而且，随着运动，波传播的方向发生变化，对应频率也会发生变化。

例2.两辆汽车A与B，在t=0时从十字路口O处分别以速度 $v_A$ 和 $v_B$ 沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图所示设汽车A持续地以固定的频率 $%5Cnu_0$ 鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所检测到的笛声频率。已知空气中声速为u，且当然有 $u%3Ev_A%EF%BC%8Cv_B$ .

解析：在某时刻t，声波从A传到B的方向如图。令声音从A传到B的时间为kt，

则

$(v_At)%5E2%2B%5B(1%2Bk)tv_B%5D%5E2%3D(ktu)%5E2$
即

$v_A%5E2%2B%5B(1%2Bk)v_B%5D%5E2%3D(ku)%5E2$
且

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Csin%5Calpha%3D%5Cdfrac%7Bv_A%7D%7Bku%7D%5C%5C%20%5Ccos%5Calpha%3D%5Cdfrac%7B(1%2Bk)v_B%7D%7Bku%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$
检测到的频率

$%5Cnu'%3D%5Cdfrac%7Bu-v_B%5Ccos%5Calpha%7D%7Bu%2Bv_A%5Csin%5Calpha%7D%5Cnu_0$
代入得

$%5Cnu'%3D%5Cdfrac%7Bku%5E2-(1%2Bk)v_B%5E2%7D%7Bku%5E2%2Bv_A%5E2%7D%5Cnu_0%3D%5Cdfrac%7Bv_A%5E2%2B(1%2Bk)v_B%5E2%7D%7B(1%2Bk)v_A%5E2%2B(1%2Bk)%5E2v_B%5E2%7D%5Cnu_0%20%3D%5Cdfrac%7B%5Cnu_0%7D%7B1%2Bk%7D$
由于

$(u%5E2-v_B%5E2)k%5E2-2v_B%5E2k-(v_A%5E2%2Bv_B%5E2)%3D0$
解得

$k%3D%5Cdfrac%7Bv_B%5E2%2B%5Csqrt%7Bu%5E2(v_A%5E2%2Bv_B%5E2)-v_A%5E2v_B%5E2%7D%7D%7Bu%5E2-v_B%5E2%7D$
故

$%5Cnu'%3D%5Cdfrac%7Bu%5E2-v_B%5E2%7D%7Bu%5E2%2B%5Csqrt%7Bu%5E2(v_A%5E2%2Bv_B%5E2)-v_A%5E2v_B%5E2%7D%7D%5Cnu_0$

3.6.2 干涉

由于波动方程是线性方程，其解满足叠加原理。即两个波源整体产生的波等于两个波源分别产生波的叠加，后面我们都可以直接使用这一叠加原理。

我们研究2个静止的波源，波沿着波源连线传播。当2个波源频率相同，振动方向相同。 $%5Cvarphi_1%E3%80%81%5Cvarphi_2$ 分别为两波源的初相位， $x_1%E3%80%81x_2$ 分别为两波源到某点的距离，两波源分别产生的波形为

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20y_1%3DA_1%5Ccos(%5Comega%20t-kx_1%2B%5Cvarphi_1)%5C%5C%20y_2%3DA_2%5Ccos(%5Comega%20t-kx_2%2B%5Cvarphi_2)%20%5Cend%7Bcases%7D$

那么在该位置的叠加波形

$y%3Dy_1%2By_2%3DA%5Ccos(%5Comega%20t%2B%5Cvarphi)$

其中参数由和角公式及辅助角公式可得：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20A%3D%5Csqrt%7BA_1%5E2%2BA_2%5E2%2B2A_1A_2%5Ccos%5Bk(x_1-x_2)-(%5Cvarphi_1-%5Cvarphi_2)%5D%7D%5C%5C%20%5Ctan%5Cvarphi%3D%5Cdfrac%7BA_1%5Csin(%5Cvarphi_1-kx_1)%2BA_2%5Csin(%5Cvarphi_2-kx_2)%7D%20%7BA_1%5Ccos(%5Cvarphi_1-kx_1)%2BA_2%5Ccos(%5Cvarphi_2-kx_2)%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$

对于任一个固定的位置，其振幅A一定，为稳定的振动。该现象称为干涉现象。振幅最大时

$k(x_1-x_2)-(%5Cvarphi_1-%5Cvarphi_2)%3D2n%5Cpi%2Cn%5Cin%20Z$

对应

$x_1-x_2%3D%5B%5Cdfrac%7B%5Cvarphi_1-%5Cvarphi_2%7D%7B2%5Cpi%7D%2Bn%5D%5Clambda$

位置为振动最强的区域，同理

$x_1-x_2%3D%5B%5Cdfrac%7B%5Cvarphi_1-%5Cvarphi_2%7D%7B2%5Cpi%7D%2Bn-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5D%5Clambda$

为振动最弱的区域。当两波源初相位相同时，上述结果更加简洁。

例3. $S_1$ 、 $S_2$ 是两相干波源，相位相反，相距l=30m，频率 $%5Cnu%3D100Hz$ ，波速v=400m/s，在 $S_1$ 、 $S_2$ 连线上两波振幅相同，不随距离变化. 求 $S_1$ 、 $S_2$ 连线上因干涉而静止的点到 $S_1$ 的距离x.

解：波长

$%5Clambda%3D%5Cdfrac%7Bv%7D%7B%5Cnu%7D%3D4m$
由干涉减弱条件

$%7Cx-(l-x)%7C%3D(2k-1)%5Cdfrac%7B%5Clambda%7D%7B2%7D$
其中k为正整数，解得

$x%3D(2k-1)m%2C1%5Cle%20k%5Cle%2015$

3.6.3 驻波

有两列频率相同，方向相反的波，方程分别为

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20y_1%3DA%5Ccos(%5Comega%20t%2Bkx)%5C%5C%20y_2%3DA%5Ccos(%5Comega%20t-kx)%5C%5C%20%5Cend%7Bcases%7D$

叠加后形成的波为

$y%3D2A%5Ccos%20kx%5Ccos%5Comega%20t$

该叠加波中位置x和时间t互相分离，不再具有行波的性质，波形不再进行传播。某一确定位置处的振幅 $2A%5Ccos%20kx$ 不发生变化。振幅最大的位置我们称为波腹，振幅最小的位置我们称为波节。

当波在传播过程中遇到界面反射时，反射波的频率和振幅不变，传播方向相反，刚好可以和入射波叠加形成驻波。需要注意的是，反射波的相位与边界条件有关。

当反射界面介质固定时，该处对应波节，反射波和入射波在反射界面叠加后振幅为0，由干涉结果可知，二者相位相差半个周期，称反射波存在“半波损失”。

以横波而言，比如一端固定的绳子，弦乐器的弦。以纵波而言，比如一端封口的试管。此时都存在半波损失。

另外，如果反射界面介质自由，则不存在半波损失。半波损失的存在是能量守恒的必然结果，具体的我们以后再作讨论。

例4.如图所示，拉直的绳子左端固定于墙上，简谐绳波自x轴正方向的远处沿x轴负方向入射而来入射波在坐标原点O的振动为，O点与墙相距 $%20%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%5Clambda$ ，其中 $%5Clambda$ 为入射波的波长.入射波遇绳固定于墙的端点将发生反射，反射波的振幅仍为A，角频率仍为 $%5Comega$ ，波长仍为 $%5Clambda$ ，但相位有 $%5Cpi$ 突变，使绳的固定端合振动为零。反射波与入射波在绳中将叠加成驻波，试导出驻波方程，即用x、t表示 $%5Cxi$ .

解：O为坐标原点，入射波为左行波，波动方程

$%5Cxi_1%3DA%5Ccos(%5Comega%20t%2Bkx)$
反射波

$%5Cxi_2%3DA%5Ccos(%5Comega%20t-kx%2B%5Cvarphi)$
考虑半波损失，

$-k(%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%5Clambda)%2B%5Cvarphi%20%3Dk(%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%5Clambda)%2B%5Cpi$
得

$%5Cvarphi%3D6%5Cpi$
如果不利用半波损失的结论，由反射点为波节，振幅为0，可得到相同的结论.

两列波叠加之后为

$%5Cxi%3D2A%5Ccos(kx-%5Cdfrac%7B%5Cvarphi%7D%7B2%7D)%5Ccos(%5Comega%20t%2B%5Cdfrac%7B%5Cvarphi%7D%7B2%7D)$
由于在端点 $x%3D-%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%5Clambda$ 处为波节，振幅为零。代入 $k%3D%5Cdfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Clambda%7D$ 恒有

$%5Ccos%5B%5Cdfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Clambda%7D(-%5Cdfrac%7B5%7D%7B4%7D%5Clambda)%20-%5Cdfrac%7B%5Cvarphi%7D%7B2%7D%5D%3D0$
解得

$%5Cvarphi%3D0$
故驻波方程

$%5Cxi%3D2A%5Ccos(%5Cdfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Clambda%7Dx)%5Ccos(%5Comega%20t)$

例5.有一口竖直井，井底有水，它可与f≥7Hz的某些频率发生共鸣．若声波在该井里的空气中的传播速度为347.2m/s，求这口井的最低深度 $h_%7Bmin%7D$ .

解：共鸣的时候，形成了驻波。

此时井深h与波长 $%5Clambda$ 的关系为

$h%3D%5Cdfrac%7B2n%2B1%7D%7B4%7D%5Clambda$
而

$%5Clambda%3D%5Cdfrac%7Bv%7D%7Bf%7D%3D%5Cdfrac%7B347.2%7D%7B7%7Dm%3D49.6m$
故井的最低深度

$h_%7Bmin%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Clambda%7D%7B4%7D%3D12.4m$