探秘概率问题

（本文为科协“奇点杯”征文大赛一等奖作品，同步推送至成都七中林荫校区各班电子班牌）

那晚，阿根廷1：2憾负沙特阿拉伯后，我到天台抽了根烟，风很冷，这是我第一次看见天台站了这么多人……

——某知乎用户

不要赌球，因为你永远无法探清概率的真相。

概率扑朔迷离，却无时无刻不诱惑着所有人。

今天我将以数学的视角带大家探索几个有趣的概率问题。诸位，请擦亮你们的双眼。

无限=有限？

我们先来看一个问题：

Q1.一位小朋友决心和你轮流掷一枚均匀的硬币，先掷到正面朝上者胜。但是小朋友邪魅一笑，说自己先掷，你察觉到了不对劲，暗地盘算道这游戏貌似不公平。那么问题来了，此时小朋友的胜率到底多大？

硬币是均匀的，这点大家都很满意。至于顺序，当然要秉承“谦恭礼让”的精神，反正概率都是五五开嘛。然而，事实真的如此吗？

说时迟那时快，小朋友率先抛起了硬币，不过很遗憾，背面朝上。你拿起硬币的手微微颤抖，心想小朋友虽已经错失了一次五五开的机会，但他仍然把握一定胜率。看来，先手还是有优势的？你开动了聪明的小脑瓜，列出了如下算式：

其中，第一项表示小朋友第一次获胜的概率；第二项表示第一轮两人均未获胜，重新开启第二轮的概率；后面依次类推……概率不多不少，正是。看来小朋友果然自有阴谋。不过你不甘心，并不是因为胜算低，而是这个等比数列求和浪费了你大量脑细胞。那么，有没有什么更方便的算法呢？

显然，如果二位人品极差，此游戏可不断循环，因此概率是无穷的，不能直接算出。当你玩到第二轮时，小朋友即将掷出他的第二枚硬币，你含情脉脉地望着他，满脑子都是他掷第一枚硬币时的样子。命运似乎开了个玩笑，一切又回到原点……你灵光乍现：既然不能直接求出概率，何不用概率表示概率？

我们设小朋友获胜的概率为，此时我们并不知道是多少，但是知道可以拆成两部分：一部分是直接获胜的概率；另一部分是一轮之后回到原点的概率，此时概率依然是。不过请注意，经历了一轮的洗礼，游戏进行到此处的概率仅有，因此我们可以列出下列等式：

解得

此处我们运用到了一定的递归与迭代的思想，各位可以看看下面的问题，以当练习：

Q2.你和刚才那位小朋友一起练投篮，双方轮流投掷，先投中者胜。小朋友的命中率比你低，于是他可怜巴巴地望着你，希望能让他先投，命中率为的你同意了。此时聪明的你发现两位的胜率正好五五开，请问小朋友的命中率是多少？

答案：37.5%

Q3.袋子里有红球、蓝球、黄球各一个，每次操作时随机摸出一个球，记录颜色并放回，直到连续摸出2个红球为止，则操作次数的数学期望是多少？

答案：12

你相信直觉吗？

随机抽取一名幸运读者，你和他（她）生日相同的概率是多少？

很明显，是（本文不考虑2月29日，给这天出生的同学们道个歉）。

如果再抽取2名、3名、4名……存在两人生日相同的概率又是多少呢？此时事情开始变得复杂了起来，而且随着人数的增加，这种概率的变化是反直觉的，我们不妨做一个小测试，请读者务必按照直觉作答：

Q4.百无聊赖的你调查了你们班54位同学的生日，其中有两位同学生日相同的概率最接近下面的（     ）选项。

A.15%             B.30%            C. 50%               D.99%

答案是D（似乎有些出乎意料），你选对了吗？

事实上，大部分人会选择A或B项，究其原因，是概率计算的方法出了问题。很多人会误以为这是一个平行事件的概率计算（即：满足条件数/总数）。然而，此题的实质是一个分步概率问题。

仔细分析这个问题时，你会发现“其中有两位同学生日相同”所蕴含的信息太过宽泛，或许张三和李四都在1月14日出生，或许狗蛋和王二麻子都在 5 月 14 日出生（不要对数字产生无端联想），或许这四人都在同一天出生。总而言之，这样考虑水太深，我们把握不住。

但是俗话说“正难则反”，学过逆否命题的你们，应该对条件的否定形式十分熟悉：

这54位同学中，任意两位同学生日不同的概率是多少？

这样的反面模型就十分适合计算了，此时我们不妨采用“一个萝卜一个坑”的思想：

不管第一位同学生日是什么，第二位同学都有的概率与之不同，等第三位同学到来的时候，已经有2个生日被填满，他还有363种选择，因此概率为……以此类推，则

具体计算过程是十分不便的，但是通过幂函数的性质可以估出大概的大小。

进而又衍生出了下一个问题：

Q5.至少找出多少人，才能使其中有两人生日相同的概率达到50%以上？

答案是23。换句话说，如果你在世界杯的某场比赛中调查双方球员及裁判的生日，其中存在两人生日相同的概率是可以对半开的，事实并没有骗人。

鉴于前文提到了沙特阿拉伯，我专门上网搜索了沙特的23人大名单，结果非常地amazing啊，沙特的门将与某位前锋都出生于1月10日！

接下来为大家提供两个小练习，难度不大，读者可以试试看：

Q6. 六位同学随机在[0, 10]中选一个整数，存在两人所选数字相同的概率是多少？（概率写成百分比形式，保留整数）

答案：85%

Q7. 根据防疫规定，你将和同学们进行“七天七检”的核酸检测混采，10 人 1 管，你在这一个星期中当“管长”的概率是多少？（概率写成百分比形式，保留整数）

答案：52%

后续详见第36期《未来梦》