求双曲正弦函数的导函数

公式(sinhx)'＝coshx已经尽人皆知了，然而对于公式的来源，一定有不少人是这样做的：

然而许多人并不知道双曲正弦函数的指数表达式是如何推导的，所以现在我们尝试类比公式(sinx)'＝cosx的方法，推导双曲正弦函数的导数。

一、一个极限的推导

和重要极限的推导类似，我们先来考察双曲函数的定义

设P是双曲线右支上一点，曲边三角形OAP（某些资料也称双曲扇形）为α/2，那么P点的横坐标和纵坐标分别是coshα和sinhα，即

OB＝coshα，PB＝sinhα，由相似三角形易得

AC＝sinhα/coshα＝tanhα。

如果我们连结AP构成△OAP，当P在双曲线右上支运动时，很容易观察到

△OAP的面积＞曲边三角形OAP的面积

＞△OAC的面积

当P与A重合时，三者重合，所以更精确一点：

△OAP的面积≧曲边三角形OAP的面积

≧△OAC的面积

即sinhα≧α≧tanhα(α≧0)

取倒数，并乘sinhα，得到

coshα≧sinhα/α≧1

当α→0+时，coshα→1，利用夹逼定理，原极限证明了一半

利用coshα和sinhα/α都是偶函数，原极限得证。

这只是第一步，我们还需要得到双曲正弦的和差化积公式。

二、相关公式

首先，我们需要得到双曲正弦的“和角公式”，证明略。

两式相减，并且x＝α+β，y＝α－β，解出α和β代入相减得到的式子中，就能得到差化积公三、万事俱备，只欠求导

现在，我们已经能够类比求正弦函数导数的过程，写出求双曲正弦导数的过程了。