group theoy6 group action

2023-08-09 14:00 作者:wuaudio 0人读过 | 我要投稿

$S(%5CSigma)$ 是集合 $%5CSigma$ 上的置换群,也就是 $%5CSigma%5Crightarrow%5CSigma$ 的一一对应，一个群作用就是群同态

$f%3AG%5Crightarrow%20S(%5CSigma)$ ，取 $x%5Cin%20%5CSigma$ ,定义 $%5Bx%5D%3D%5Clbrace%20f(g)x%3Ag%5Cin%20G%5Crbrace$ 为 $x$ 所在的轨道。

$%5Cmathbf%7Bstab%7D(x)%3D%5Clbrace%20g%3Af(g)x%3Dx%5Crbrace$ 定义为 $x$ 的不动子群，因此 $%5Bx%5D$ 作为集合其实就是商群 $G%2F%5Cmathbf%7Bstab%7D(x)$ ，如果 $%5Bx%5D%3D%5CSigma$ ，就说作用是可迁的，如果 $%5Cmathbf%7Bstab%7D(x)%3D1_G$ ,就说这个作用是忠实的。 $%5Cmathbf%7Bstab%7D(x)%E5%92%8C%5Cmathbf%7Bstab%7D(gx)$ 是共轭子群关系，可验证。以后都用 $gx$ 代表 $f(g)x$ 。