【数学基础37】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
混合积：向量a与b的外积，再与向量c作内积，结果是一个数量，称为三向量依顺序a，b，c的混合积，记为（a，b，c），即（a，b，c）=（axb）c；
混合积性质：
a.当a，b，c组成右手系时，（a，b，c）>0；
b.当a，b，c组成左手系时，（a，b，c）<0；
几何意义：（a，b，c）是以a，b，c为邻边的平行六面体的体积；
性质：
a.（a，a，c）=0；
b.（a，b，c）=（b，c，a）=（c，a，b）=-（b，a，c）=-（c，b，a）=-（a，c，b）；
c.（a1+a2，b，c）=（a1，b，c）+（a2，b，c）；
d.（λa，b，c）=λ（a，b，c）（λ是实数）；
三向量a，b，c共面的充要条件是（a，b，c）=0。
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
参考资料：
《数学分析习题演练》（周民强 编著）
《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）
《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）
数学分析——
例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——
试求数列{an}之极限：an+1=2+1/an（a1>0）.
解：（逆向推导）
由归纳法可知：
a1>0，
若an>0，则an+1=2+1/an>0，所以该数列为正数列；
如果{an}是收敛列，即lim an=a，则lim an+1=lim（2+1/an），即a=2+1/a，解得a=1+2^（1/2）或a=1-2^（1/2），因为an>0，a>0，即a=1+2^（1/2）；
令数列hn=an-[2^（1/2）+1]，an=hn+2^（1/2）+1，
|hn+1|
=|an+1-[2^（1/2）+1]|
=|2+1/an-[2^（1/2）+1]|
=|1/an-2^（1/2）+1|
=|1/[hn+2^（1/2）+1]-2^（1/2）+1|
=|[1-2^（1/2）]hn/[hn+2^（1/2）+1]|
<=|[1-2^（1/2）]hn/2^（1/2）|
<=|hn/2|
<=……
<=|h1/2^n|，
lim hn=0，则lim an=1+2^（1/2）.
解析几何——
例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——
若e1，e2，e3是两两互相垂直的组成右手系的单位向量. 试证：（e1，e2，e3）=1
证明：
由外积的定义可知e1xe2=e3；
（e1，e2，e3）=（e1xe2）e3=e3^2=1.
高等代数——
例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——
设A与B都是n级对称矩阵，则对任意正整数m，矩阵C=（AB）^mA也是对称矩阵。
证：C'=[（AB）^mA]'=（ABA……ABA）'=A'B'A'……A'B'A'=ABA……ABA=（AB）^mA=C，证毕。
到这里！
