005.线性方程组的解法(三) P5 - 07:47
解的情况，我们已经遇到了至少三种，
1.证明解只有三种情况
006.线性方程组的解法(四) P6 - 00:06
r=<t<=n
同时还证明了不出现0=d，则一定有解
007.线性方程组的解法(五) P7 - 08:25
解要在有理数 实数集里，比如在整数集里就不行
012.N阶行列式(五) P12 - 00:22
行列式的性质
016.N阶行列式(九） P16 - 12:12
n元线性方程组有唯一解的充要条件
(充分性就是克莱姆法则）
解的表达式留在第四章讲
<=:假如是无解（无穷解），矛盾
严格增加
行列式的其他应用
二阶（面积）
019.线性空间(一) P19 - 03:14
1.究竟是无解还是很多解
2.未知数和方程个数不一致怎么办
019.线性空间(一) P19 - 14:38
考虑所有的这样的有序数组，
在一个集合里，肯定要定义什么是相等
我们联想到集合里的向量，所以也把他叫做n元向量。
因为ai是数，所以有加法和数乘的运算法则。
还有很多满足这个的例子：
如平面上以定点o为原点的所有向量集合
直线上以o为原点的所有向量组成的集合
因此我们想建立一个抽象数学模型。
因为这些例子（直线是舒展的），而且不仅是集合，还定义了运算，所以我们取名叫：线性空间。
在一个抽象的集合里要建立运算
首先定义运算
在我们解方程组的时候，所以很自然的定义数乘运算，加法运算
先定义了向量空间，又进一步定义线性空间
两个最基本的概念：集合和映射
什么是运算？
019.线性空间(一) P19 - 18:08
定义了映射
陪域 codomain
为了给运算下定义，还得考虑有序元素对（笛卡尔积）
运算：
（除法不是整数集合的代数运算）
详见《近世代数》
020.线性空间(二) P20 - 04:28
一些线性空间的例子：
1.几何空间：元素是以o为起点的所有向量，点不好做运算
2.n维向量空间
3.函数空间
020.线性空间(二) P20 - 19:08
只从定义出发，论证线性空间的性质
021.线性空间(三) P21 - 15:08
平面是几何空间的子空间
线性子空间的定义
不过点o的平面是不是几何空间的子空间？
021.线性空间(三) P21 - 22:39
有平面引入线性子空间
子空间的必要和充分条件
不过o的平面，不是子空间
022.线性空间(四) P22 - 01:15
代数运算的定义
子空间的必要和充分条件
022.线性空间(四) P22 - 11:14
{0}和V都是V的子空间
向量组：有限个向量
线性组合：
线性表出
022.线性空间(四) P22 - 22:50
用刚刚的概念解决线性方程组解的问题
有无解<=>是否在生成的子空间里
之后就开始研究子空间的结构了
023.线性空间(五) P23 - 10:27
从共线引入线性相关
又在线性方程组牛刀小试一下
023.线性空间(五) P23 - 16:04
（抄笔记）
024.线性空间(六) P24 - 03:33
复习线性相关
线性相关的性质（跟着证明一下）
025.线性空间(七) P25 - 09:06
抄笔记，命题1
025.线性空间(七) P25 - 18:53
线性相关和子空间
极大线性无关组
026.线性空间(八) P26 - 17:09
等价的定义
027.线性空间(九) P27 - 15:38
那个有点点绕的证明
p88 结论3
028.线性空间(十) P28 - 07:12
028.线性空间(十) P28 - 14:42
029.线性空间(十一) P29 - 03:23
向量组有次序
但是加法有交换律，找到使不全为零的数
对调换次序的向量组同样适用
有限子集线性相关（无关）本质上是向量组
（向量组是有限的）
无限子集：有一个有限子集线性相关
否则线性无关
无限个相加？＝0
需要用到极限
极限需要定义距离
029.线性空间(十一) P29 - 07:40
基的定义
029.线性空间(十一) P29 - 14:53
基的存在性（下册157~158）
029.线性空间(十一) P29 - 17:54
030.线性空间(十二) P30 - 16:34
031.线性空间(十三) P31 - 10:38
031.线性空间(十三) P31 - 15:57
031.线性空间(十三) P31 - 19:41
（证明没抄）
032.线性空间(十四) P32 - 06:48
极大线性无关集
解释{0}和空集
证明空集是{0}的一个基
把基的定义放大了
032.线性空间(十四) P32 - 18:30
向量组生成子空间的基
033.线性空间(十五) P33 - 02:54
033.线性空间(十五) P33 - 07:27
033.线性空间(十五) P33 - 10:55
034.线性空间(十六) P34 - 10:19
阶梯型矩阵行秩=列zhi
035.线性空间(十七) P35 - 11:06
行变换不改变列秩
036.线性空间(十八) P36 - 08:30
036.线性空间(十八) P36 - 14:45
037.线性空间(十九) P37 - 02:52
037.线性空间(十九) P37 - 07:51
037.线性空间(十九) P37 - 12:21
038.线性空间(二十) P38 - 04:05
齐次线性方程组解集结构
1.解集是子空间
038.线性空间(二十) P38 - 11:27
2.求子空间的一个基
（不妨设r个主元在前r列）
得到方程组的n-r个解
039.线性空间(二十一) P39 - 11:36
n-rank A
039.线性空间(二十一) P39 - 17:12
非齐次
040.线性空间(二十二) P40 - 07:24
线性流形 陪集
040.线性空间(二十二) P40 - 15:17
子空间的运算
（关于子空间的充要条件）
041.线性空间(二十三) P41 - 03:22
子空间的交是子空间的运算（运算的定义）
041.线性空间(二十三) P41 - 01:46
包含v1和v2的所有向量，因为子空间对加法封闭，就得含有他们的和
这是包含并集的最小的子空间，因为包含并集就得包含他们两个中的元素。
041.线性空间(二十三) P41 - 10:10
041.线性空间(二十三) P41 - 15:36
041.线性空间(二十三) P41 - 18:50
开始证明：子空间的维数公式
042.线性空间(二十四) P42 - 08:19
042.线性空间(二十四) P42 - 11:04
子空间的直和
043.线性空间(二十五) P43 - 06:02
对有限无限都适用
043.线性空间(二十五) P43 - 19:26
有限时，推出直和的又一等价条件
043.线性空间(二十五) P43 - 21:23
补空间
044.线性空间(二十六） P44 - 04:04
补空间不唯一
044.线性空间(二十六） P44 - 05:54
多个子空间直和
一些类比证明
研究线性空间：
利用基
利用子空间的运算
把所有的线性空间分类，在每一类中研究某一具体的线性空间
什么叫做有相同的结构呢
复习映射
映射相等：定义域，陪域相同，对应法则相同。
045.线性空间(二十七) P45 - 14:12
同构映射
因为是单射，所以可以反着推
046.线性空间(二十八) P46 - 10:06
047.线性空间(二十九) P47 - 03:56
047.线性空间(二十九) P47 - 08:08
这个映射把a映成a在ai这组基下的坐标
（坐标的定义是啥来着？）
047.线性空间(二十九) P47 - 13:10
048.线性空间(三十) P48 - 01:34
048.线性空间(三十) P48 - 02:51
映射的乘法
048.线性空间(三十) P48 - 10:59
恒等变换
048.线性空间(三十) P48 - 17:31
可逆映射
048.线性空间(三十) P48 - 21:22
049.线性空间(三十一) P49 - 18:43
050.线性空间(三十二) P50 - 05:50
050.线性空间(三十二) P50 - 16:30
二元关系
051.线性空间(三十三) P51 - 09:55
等价类性质
划分 等价类
052.线性空间(三十四) P52 - 08:59
052.线性空间(三十四) P52 - 16:45
给线性空间一个划分，通过研究商集的结构来研究
如何给线性空间一个划分？
有几何空间的例子
053.线性空间(三十五) P53 - 03:46
a和b有关系，就是他们在同一个平面
053.线性空间(三十五) P53 - 08:51
陪集代表不唯一
是一个划分，这个划分叫商集，商集的元素是陪集
我们期望商集里也定义加法和数乘运算
053.线性空间(三十五) P53 - 17:42
053.线性空间(三十五) P53 - 22:58
商空间
054.线性空间(三十六) P54 - 02:39
怎么找线性空间的基
1.找n个线性无关的向量，证明它能表出其他所有
2.任取一个向量试着用n个向量表出，再证明其线性无关。
反之如何？
054.线性空间(三十六) P54 - 14:53
055.矩阵的运算(一) P55 - 10:00
定义加法数乘，构成线性空间
探究能否做乘法
从映射的乘法引出矩阵的乘法
一个旋转对应到一个矩阵
转两次
规定AB+...
056.矩阵的运算(二) P56 - 09:19
056.矩阵的运算(二) P56 - 12:59
不适合交换律
056.矩阵的运算(二) P56 - 18:31
满足的运算法则
从映射乘法 推出
用矩阵的理论处理线性方程组的问题
057.矩阵的运算(三) P57 - 13:10
058.矩阵的运算(四) P58 - 02:29
一组基
058.矩阵的运算(四) P58 - 10:04
t特殊矩阵
抓住主要矛盾，打星号
059.矩阵的运算(五) P59 - 02:56
矩阵的初等行变换和矩阵乘法有何关系
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