平行线能不能相交？！

起因是这样的：我在《十万个为什么》（数学第六版，有一说一取这书名的野书太多了）中了解到了非欧几何，便想到网上找更多资料。一搜不得了，直接出现了很多说“平行线能相交”的文章，视频！！(°ㅂ° )（话说《十万个为什么》中没说平行线相交）一致的文案说“这是罗巴切夫斯基证明的，他还开创了“双曲几何”，也就是罗氏几何。后来黎曼开创了椭圆几何，才为他正名”。先提一句，本文讨论直线均在一“平面”（二维流形）上 觉得射影几何相交于无穷远点的引入无穷远点的解释不够好，他们还拿上非欧几何。听起来非常厉害。就连《六极物理》也是这么说的：

那么事实是这样吗？ 首先拿出《罗巴切夫斯基几何学及几何基础概要》，翻开看就会发现端倪了。

罗氏几何部分通篇未提及“平行线相交”，而且罗巴切夫斯基公理也不能推出这个结论。

黎曼几何则根本没有平行线

平行线的定义也是认为“不相交”（非射影几何观点，不考虑无穷远点） 这事就有趣了，那我们看看正方论据有什么问题： （一）地球经线垂直于赤道，平行，互相相交于两极，所以平行线能相交。 这个问题出在使用“内错角相等两直线平行”在黎曼几何上，有人可能会说：这不是几何原本第一卷命题27吗，不是没用欧几里得平行公理吗？怎么会有问题？实际上这个命题论证关键前提是命题16，而命题16最后却是靠“瞪眼法”，眼镜看，觉得小就小，得证。这个方法的不严谨性，在“等腰三角形悖论”能体现出来，关键在于两组全等三角形摆放两边不一定是照着图来的。所以这个论证是不严谨的，有问题的。 顺便提一嘴，最开始数学家勒让德证出“三角形内角和不大于两个直角”，是因为潜在假设直线长度无穷大，在用阿基米德公理得出结论。黎曼几何不仅违反了平行公理，还有接合公理（两点间有时有无数条直线），顺序公理（三个共线的点没有顺序）。这是很多科普没有讲到的，也是为什么罗巴切夫斯基没有连带提出椭圆几何，因为他本人也觉得只违反平行公理的几何中不可能没有平行线。 （二）平行于同一直线的两直线平行。 这个前提本身就需要欧几里得平行公理，下一个。 （三）拿折纸、相对论等空间扭曲变形论证。 只能说，空间变了，直线的位置关系也会变，况且数学是不能拿物理论证的，要不然甚至还负数。 （四）拿三维空间中两直线卡视角。 这个真无语了（＃－.－） 唯一靠谱的说法就是射影几何相交于无穷远点的说法，还得引入齐次坐标描述。 说这么多总结：平行线是不相交的，相交，也是在看不到的无穷远点相交。那这事就有趣了…… 后记： 1、我没想到到这个文案编写时竟然没多少人说这事，在网上也没查到原出处，有几种可能：一是原先说的人发现错误，发布后删掉了，结果被人误传；二是有书籍报刊传播这句话，随后才在网上出现；三是某个写言情小说的装13翻车了，读者信以为真了。 2、拿平行线写言情小说和鸡汤文，讲爱情问题的实在太多了……-_-||，都写“重合线是两人在一起白头偕老，平行线并行但终究是朋友，相交线在相遇后渐行渐远”“平行线也能相交”，新颖点好吗？ 3、史家霸唱 的视频（有两个讲罗巴切夫斯基的，这是其中一个）笑到我了，罗巴切夫斯基那时候苏联还没有成立，这里：BV1Ea411R7Hh。还有@岳阳_楼记，BV16r4y167Rv，这视频说的好像射影几何是罗巴切夫斯基开创的，笛沙格都能给气活了。