【线代救命】向 量

线性无关的定义，找不到一组不全为0的K，使得上面那个等式成立。或者说要使等式成立，则K全部为0。

2.1A，B，D充分不必要条件，BD条件都太强了，举反例

2.2B项上一题D的反例也可以说这个，D项上一题B的反例

性质

部分相关则整体相关，整体无关则部分无关。

本身无关则延长无关，本身相关则缩短相关。

注意是任意的r+1阶子式不为0，而题目中只说了一个r+1不为0。故无法确定A的秩

2.部分无关则延长无关。

3.部分相关没有延长相关的结论。

整体与部分从秩的角度理解：部分相关说明列不满秩，继续加向量，仍然是列不满秩当然是相关的。 原来无关说明是列满秩的，抽出一部分仍然是列满秩。

延长与缩短从方程组的角度理解：延长相当于增加了方程组的个数，增加了约束关系。

特别适合用性质时可以用，也可以用秩，方程组，反证法等说明。

2.5（1）法一：定义+性质假设k1=0， 234无关则从中抽出的23也无关，要满足等式，则K2和K3都等于0，与123相关矛盾。故k1≠0。

法二：秩，可以把1加上23理解为A的增广

法1：123相关，1是其中的一个多余向量，故第二问相当于问4能否由23表出，显然与无关矛盾。

法2：秩，系数矩阵的秩等于2，增广矩阵的秩大于等于3，他们必然不相等，所以方程组无解

Km＝0时，与B不能由1到m-1表示矛盾，故Km≠0

第二问用反证法。 m可以由前面的m-1项表出，为多余向量，其1到m可以变更为1到m-1，与B不能由1到m-1表示矛盾

k是否=0时，CD都有可能

以少表多，多必相关

1可由2表示，则2的秩≥1的，为啥？

由列向量组正交，转化为矩阵乘法，再转化为方程组，讨论方程组解的问题。

可以知道，解向量基础解系中线性无关的向量个数只有一个，故B1234解向量都是成比例的，则r(B1234)＝1

附加题，

非零向量之间正交，他们之间必然无关

零向量天生与任意向量正交，与任意向量正交

贝塔1，贝塔2=0和不等于0的情况自己梳理一遍。方程组和秩的角度，反证法看看

124是不可以作为极大无关组的

行向量组等价与列向量组等价的写法

向量组等价，对向量个数没有要求

从方程组角度，有非零解，则系数矩阵列相关

BD取A＝0，C可以取矩阵A＝E

如果把B可逆改成A可逆，应该选哪个

2.19题，

A肯定不满秩，如果A满秩，则r(AB)=2才对，二阶子式不等于0，故r(A)＝2