【数学基础143】常微分方程：史济怀老师视频微分方程相关内容总结（十二）

史济怀老师视频课微分方程部分——

&3.二阶线性微分方程的一般理论

&3.1二阶齐次 线性方程解的结构

例题1：已知y1(x)，求y2(x)。

解：

• 利用Liouville公式：

• 令c=w(x0)，即得：

• 又w(x)=y1(x)y2(x)'-y2(x)y1(x)'，则

• 两边取积分，得：

• 该结论需要记忆，会反复使用，如例题2。

例题2：已知y''+(2/x)y'+y=0的一个解为y1(x)=sin x/x，求y2(x)。

解：（套用例题1结论）——

• 先求一个复杂些的因式，备用——

• 求出另一个线性无关的特解y2(x)——

• 该方程的通解即为：