【零基础学经济Ep49】查漏补缺——数学基础（复习：同济常微部分）

时间紧张，今天复习一下一阶微分线性方程解法+可以转化为一阶线性微分方程的一阶非线性微分方程——伯努利方程。

同济《高等数学》常微分方程部分

常微分方程中主要涉及的一种方程类型——线性方程。

线性方程——顾名思义，就是里面每一个含未知量x的项都是一次的。

原因在于，F（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的图像是一条直线，顾名思义，线性函数，于是形如0=ax+b就是线性方程了，这也是为什么，在常微分方程课程中，线性代数的内容依然很重要的原因。

非线性方程，往往可以采取局部分析的方法，转化为线性方程，所以线性方程可以说是微分方程的基础内容。

依然按照从简单到复杂的顺序，最简单的线性方程是一阶线性微分方程，所以我们就从这种类型开始了。

一阶线性微分方程——即只含有一阶导数的线性微分方程，形如dy/dx+P（x）y=Q（x）的微分方程。——一阶线性微分方程又分为两种——

齐次方程——Q（x）恒为0；

非齐次方程——Q（x）不恒为0。

注意：

1. 这里的齐次方程不要和之前的齐次方程混淆，是两个完全不同概念；

2. 非齐次方程的解可由齐次方程的解获得，所以先解决齐次方程的解即可。

一阶齐次线性方程的通解——

1. dy/dx+P（x）y=0，可得到dy/y=-P（x）dx——变量分离的方程，两边取积分；

2. ln |y|=-∫ P（x）dx+C1，即y=Ce^（-∫ P（x）dx）——其中C的取值取决于C1，C=e^C1或C=-e^C1。

   注意——绿字部分的解是要背下来的。

一阶非齐次线性方程的通解——常数变易法：利用齐次方程的通解y=Ce^（-∫ P（x）dx）——（重点！！！）——

1. 方程形如dy/dx+P（x）y=Q（x），其中Q（x）不恒为0；

2. 将齐次方程通解中C换成未知函数u（x），即y=ue^（-∫ P（x）dx）；

3. 由2得dy/dx=u'e^（-∫ P（x）dx）-uP（x）e^（-∫ P（x）dx）；

4. 将2、3代入1，得dy/dx+P（x）y=[u‘e^（-∫ P（x）dx）-uP（x）e^（-∫ P（x）dx）]+P（x）ue^（-∫ P（x）dx）=Q（x）；——注意到绿色部分可以消去；

5. 由4解出u（x）——

   u‘e^（-∫ P（x）dx）=Q（x），u'=Q（x）e^（∫ P（x）dx），

   u=∫ [Q（x）e^（∫ P（x）dx）]dx+C；

6. 将5代入2中，y=e^（-∫ P（x）dx）（∫ [Q（x）e^（∫ P（x）dx）]dx+C）；

7. 将6中式子改写得到，y=Ce^（-∫ P（x）dx）+[e^（-∫ P（x）dx）]（∫ [Q（x）e^（∫ P（x）dx）]dx）；

   注意：

   1.第一项（红色部分），为齐次线性方程的通解；

   2.第二项（绿色部分），为非齐次线性方程的一个特解（C=0时）。

注意：这个解是要背下来的，不然做题就麻烦太多了，而且，记住这个形式，对解决一些问题的切入点也很重要。

可以转化为一阶线性微分方程的一阶非线性微分方程——伯努利方程。

伯努利方程——形如dy/dx+P（x）y=Q（x）y^n的微分方程——其中n不为0、1。

解法——

1. 做一个简单的变换我们就可以把它转化为一阶线性微分方程——两边同时除以y^n，将方程变形为——[y^（-n）]dy/dx+P（x）[y^（1-n）]=Q（x）；

2. 令z=y^（1-n），dz/dx=[（1-n）y^（-n）]（dy/dx），[y^（-n）]dy/dx=[1/（1-n）]dz/dx；

3. 将2中各式代入1，得到——[1/（1-n）]dz/dx+P（x）z=Q（x）；

4. 将3中式子乘以（1-n），得到——dz/dx+（1-n）P（x）z=（1-n）Q（x）；

5. 第4步所得式子即为关于x的函数z的一阶线性微分微分方程，我们按照解一阶线性微分方程的方法接出z，y=z^[1/（1-n）]。

这就是伯努利方程的解法。