【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep49】实数完备性定理第二发：单调有界原理

今天聊一个虽然简单直观，但是很重要的定理。

我们在Ep19中聊到了“实数完备性”的定义——“实数完备性”被定义为——实数定义的“实数分划”只有一种类型，即上组或者下组存在最值；与“有理数分划”这个“花心小萝卜”形成了鲜明对比，“实数分划”很专一，不会一边跟实数在一起，一边惦记着其他数——

因为最近有读者问的问题是混淆了“有理数分划”和“实数分划”两个概念造成的，所以这里再重申一遍这两者的区别——

“有理数分划”是指以实数为界数将有理数分为上下两组，分两种类型：如果界数是有理数，则这个界数必然落在某一组中，如果这个界数是无理数，则这个界数不属于其中任意一组；

“实数分划”是以实数为界数将实数分为上下两组，只有一种类型：界数必然落在上组或者下组。

而在本书中，具有工具意义的定义只有“有理数分划”一个，所以但凡这本书遇到证明，所说的分划必然是“有理数分划”，如果你把它当做“实数分划”，那么就会觉得是不是证明错了？其实不是，仅仅是你把两个概念混淆成了一个概念。

我们在Ep20提到：

“完备性”是“实数”完全不同于“有理数”的一个性质。

——所以，由此可以导出许多“实数”独有的定理。

以及——

“‘实数完备性/连续性’也是在大学数学专业《数学分析》课程中遇到的第一个重要的概念，以此为起点，导出的“实数连续性的六个定理”的相互推导，曾几何时是“北大数学系考研”连续几年《数学分析》的必出题，……，当然这道题往往是其中的送分题，……，简言之，就是，“实数的完备性”部分是数学系第一个要下功夫的学习重点。”

——实际上，实数基本原理有七个，但是聚点原理一般教材一元微积分部分不会深聊，所以我们掌握前六个翻来覆去的推导即可。

我们在Ep21聊了“实数完备性”的第一个定理——“确界原理”：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

今天就来聊第二个定理——“单调有界原理”：单调有界数列必收敛。

34单调数列的极限        

首先当然照例介绍单调数列的概念了！——

我们中学学过函数单调性，就是——对于函数f（x），对于任意x1<x2，如果有f（x1）<f（x2）则为单增函数，如果有f（x1）>f（x2）则为单减函数。

我们说过数列可以看做一个特殊的自变量为自然数的函数，那么数列单调性就可以类似表述为——对于数列{an}，对于任意n'<n"，如果有an'<an"则为单增数列，如果有an'>an"则为单减数列。

显然单调数列是一种具有特殊性质的数列——

这个定理的前半部分便是有名的“单调有界原理”——单调有界数列必有有限极限；

这个定理的后半部分可以简述为：单调无界数列必为无穷大。

我们来分步证明——

1.前半部分——

证明用到了我们之前学过的“确界原理”，该证明作为重要基础应当滚瓜烂熟，以单增有上界为例——

1. 我们已知单增有上界数列{an}，这个数列中的所有项构成了数集A，存在上确界a，使得其中任意元素an<=a；——上界的定义；

2. 对任意小数e>0，存在自然数N，使得aN>a-e；——上确界的性质；

3. 由1、2，an<a+e；——上确界的性质；

4. 由1、2、3，和数列单调性，得到对任意n>N，有a-e<aN<an<=a<a+e；

5. 我们复述2、4部分内容：对任意小数数e>0，存在自然数N，对任意n>N，有a-e<an<a+e，即|an-a|<e，即a为数列{an}的极限。

2.后半部分

证明直接对照无穷大的定义，仍然以单增无上界为例——

1. 无上界数列{bn}，必然满足，对于任意大数E>0，都存在自然数N，bN>E；

2. 单增数列{bn}，必然满足，对于任何n>N，bn>bN；

3. 结合1、2，对于单增无上界数列{bn}，必然满足，对于任意大数E>0，都存在自然数N，对于任何n>N，bn>E，即数列{bn}为无穷大，得证。

关于“单调有界原理”有一道非常出名的例题，这也是北大2016年的一道考题——

这也是陈纪修《数学分析》上的一道例题，感兴趣的同学不妨做做看，难得的北大出过的简单题。

用“单调有界原理”推导“确界原理”的内容，我们明天再说！