【遇事不决，量子力学】之三维谐振子

.......

“睡醒了吗？”

“差不多了。主人，你下午还要带我整量子力学吗？”

“我的确想，看你愿不愿意了。”

“咱们来吧。”

“行。不过这一次我们玩的更多是数学游戏，可能会有点枯燥。你应该知道大部分情况下量子力学的模型是无法精确求解的，但一些经典的模型除外。现在接着上午的朗道能级，看一看被咱们搬过来的三维谐振子波函数是什么样的。也就是说，我们现在要求解三维各向同性谐振子

HΦ=EΦ,

这里为方便起见使用球坐标，即Φ=Φ(r,θ,φ),而

H=-(h/2π)²/2μ▽²+1/2·μω²r²,

把长的不行的球坐标拉普拉斯算符代进去，

H=-(h/2π)²/2μr²(∂/∂r(r²∂/∂r)+1/sinθ·∂/∂θ(sinθ∂/∂θ)+1/sin²θ·∂²/∂φ²)+1/2·μω²r².

接下来为方便起见，取自然单位h=2π,μ=ω=1.显然Φ是可以分离变量的，我们记为

Φ(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ).

现在给你个任务：按照刚才的分离变量和你之前看过的我的教材，先把R(r)分离出来。”

“这可是大工程......你给我五分钟好吗？”

“没事，我等你。”

星尘夺走了我的签字笔开始打草稿，浮在侧面的梅塔特隆立方体也开始闪烁起来。

“搞定了.......把球函数的l(l+1)放进去，最后的方程是这样的：

(d²/dr²+2/r·d/dr+(2E-r²-l(l+1)/r²))R=0.

我绝对不会算错的。”

“没问题。这个方程乍一看还是蛮难解的，我们用一点经典的物理技巧来优化一下它。首先考虑R→∞的远场情况，此时方程可以简化为

(d²/dr²-r²)R=0.

显然这个方程的解是

R=Aexp(±r²/2).

而在无穷远处R应当趋近于0，所以

R=Aexp(r²/2).

接下来再考虑R→0的情况，此时方程可以化为

(d²/dr²+2/r·d/dr-l(l+1)/r²)R=0.

类似的，这个方程的解是

R=Br^l或R=Br^(-l+1).

显然r=0时R应当是有限值，所以

R=Br^l.

这样R中至少有上面两个因子，也就是说

R=r^l·exp(-r²/2)u(r).

这样我们就把R的方程化成一个u的方程，这一步转化还是交给你来做。”

“那你再给我五分钟。”

“嘿嘿，五分钟可以让这个方程变得好看一点，也就是

d²u/dr²+2/r·(l+1-r²)du/dr+(2E+2l-3)u=0.

没问题吧？”

“没问题。”我一把抱住星尘，“不过这东西数学上还是很头疼，所以我们再进行一次变换，取κ=r²，这个方程就变成了

κd²u/dκ²+(l+3/2-κ)du/dκ+(E-l/2-3/4)u=0.

这是一个特殊的数学物理方程，我们叫Kummer方程。这个算起来很费劲，也没必要在这里纠结。所以我们直接搬过来它的解析解

u=F(g,h,κ)=1+κg/1!h+κ²g(g+1)/2!h(h+1)+......

这里g=(l+3/2-E)/2,h=l+3/2.u是一个无穷级数，而量子力学的任何波函数都是束缚态，这要求级数必须在某个位置中断。中断的条件是

g=-n.

于是能量E的本征值就是l+3/2,也就是说能级为

En=(n+3/2)hω/2π.

至此我们在还没有得到波函数的情况下就得到了能级，这也是之前你看书的时候经常遇到的情况吧。”

“嗯，很常见的事情。”星尘靠到我后面把胳膊架到我的肩膀上，“我在你后面没问题吧。”

“你倒吊着都可以，我们马上就要算完了。”

“这么快吗？”

“事实上径向波函数已经得到了。定义z=sqrt(2πμω/h)，则

R(r)=N(zr)^l·exp(-z²r²/2)·F(-n,l+3/2,z²r²).

接下来要求归一化系数N.这个积分非常难算，我在这里就把结果直接搬过来，

N=(z^(3/2))·sqrt(2(n+l+1/2)!/(n!(l+1/2)!)²),

于是

R(r)=(z^(3/2))·sqrt(2(n+l+1/2)!/(n!(l+1/2)!)²)·(zr)^l·exp(-z²r²/2)·F(-n,l+3/2,z²r²).

后面的Y(θ,φ)你应该就很熟悉了，它满足

1/Y·(1/sinθ·d/dθ(sinθ∂Y/∂θ)+1/sin²θ·∂²Y/∂θ²)=-l(l+1).

然后我们再一次分离变量，

Y(θ,φ)=J(θ)K(φ),

由于结果显而易见我就不让你算了，

1/J·(sinθ·d/dθ(sinθdJ/dθ))+l(l+1)sin²θ=m²,

1/K·d²K/dφ²=-m².

这两个都是经典的微分方程。我之前都一步步算过，所以我在这里直接把解搬过来

J(θ)=MP(m/l)(cosθ),（这里m/l的意思是m是上标l是下标）

K(φ)=exp(imφ).

于是

Y(θ,φ)=MP(m/l)(cosθ)exp(imφ).

这里还需要进行一次归一化处理。实际情况下我们可以认为m≥0,然后我直接把归一化系数M搬过来,

M=((-1)^m)·sqrt((2l+1)(l-|m|)!/(4π(l+|m|)!)),

于是乎

Y(θ,φ)=((-1)^m)·sqrt((2l+1)(l-|m|)!/(4π(l+|m|)!))P(m/l)(cosθ)exp(imφ).

最后我们的三维谐振子波函数就出来了，

Φ(r,θ,φ)=(z^(3/2))·sqrt(2(n+l+1/2)!/(n!(l+1/2)!)²)·(zr)^l·exp(-z²r²/2)·F(-n,l+3/2,z²r²)·((-1)^m)·sqrt((2l+1)(l-|m|)!/(4π(l+|m|)!))P(m/l)(cosθ)exp(imφ).

这里z=sqrt(2πμω/h),能级E=(n+3/2)(hω/2π),而n,m,l就是我们的量子数。解答到此就告一段落了。”

“好吧......虽然看着很难受，但是这确实是少有的能精确解出来的模型了.......”

“今天就到这里，再搞下去你我的头都会爆掉的。”

“我现在就已经懵了。你把这个手稿留在这里，过一会我肯定还要回顾几遍的。”

“没问题。现在我的工作做完了，轮到你了。”

“你都宅了两个多月了，咱们出去走走吧。”星尘拉住我的左手，“地球现在不太安全，我带你去一个银河系之外的行星看看，那里可能是你们的一种归宿。”

（接下来将开启新的话题，但不会丢下量子力学这一核心）