波束成形（beamforming）的数学推导（三）---从接收端看

（录制的视频：https://www.bilibili.com/video/BV1wW4y1q7fe/）

在前两篇文章中，我们讨论了一组发射天线，如何做到波束成形的（让波束指哪儿打哪儿）。那么，我们很自然的容易问：是否能用一组接收天线，在指定方向上接收信号，在其他方向上抑制信号，或者说收不到其他方向上的信号？
我们用类似的模型，让一组接收天线排成一列，假如是 N 个天线，如下图所示：

假设在足够远处有一个发射天线，那么 N个 接收天线接收的信号，可以近似认为是平行到达各个接收天线的，与天线阵列的夹角都是相同的。如下图所示：

那么以图中最下面天线收到的信号为基准，则其上紧挨着的天线，接收到的信号多走的距离就是:

依此类推，第 k 个天线接收的信号，多走的距离就是：

距离除以光速 c，就是信号多走的时间（第k个天线比第一个天线多走的时间）：


假设发送的电磁波是一个单频信号，频率是 f，则多走的时间导致的相位偏差为：

频率 f 对应的周期为 1/f，则一个周期对应的长度（波长），就是 c * 1/f，即：


那么：

把上面公式中与 k 无关的部分提取出来，单独给个记号：

那么这 N 个接收天线，以第一根天线为参照，其相位偏差分别为：

则这 N 根天线收到的信号，以第一根天线为参照，相当于分别被乘以一个复数：

把 N 根天线收到的信号叠加起来:

做等比数列求和：

可以看出，当  时，信号的强度最大，也就是 时信号强度最大，也就是说，垂直于天线阵列方向上发来的信号，会被接收阵列收到最大的信号。

图形如下：

代码中假设 .

附录：

若只考虑幅度，则上面推导中最后的两个分式中，第一个分式的模是 1，可以忽略。