代数数论笔记（二）：二次域和圆域上迹、范和判别式的计算

2023-04-12 18:57 作者:CupsOfCubs 0人读过 | 我要投稿

本节作为上一节的补充.

在这系列笔记里，最重要的两个例子是二次域(quadratic field) $%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Csqrt%7Bd%7D)$ （这里 $%5C%7B0%2C%201%5C%7D%5Cnot%5Cni%20d%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D$ 无非平凡平方因子）以及圆域(cyclomatic field) $%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Czeta_p)$ （这里 $%5Czeta_p$ 是 $p$ 次单位根， $p$ 是奇素数）.在这一系列笔记中，我们会不断地将新的理论用在这两个例子上.这两个例子有一个共同的优点，就是他们都是 $%E5%9C%A8%5Cmathbb%7BQ%7D%E4%B8%8A$ Galois的，这给我们的讨论带来很大方便.

先来看前者. $%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Csqrt%7Bd%7D)$ 的所有 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 嵌入（取决于 $%0A%5Csqrt%7Bd%7D$ 打到 $%0A%5Csqrt%7Bd%7D$ 还是 $%0A-%5Csqrt%7Bd%7D$ ）刚好构成Galois群 $%5Coperatorname%7BGal%7D%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Csqrt%7Bd%7D)%2F%5Cmathbb%7BQ%7D$ .如果 $d%3E0$ ，则 $%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Csqrt%7Bd%7D)$ 的所有 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 嵌入均是实的；如果 $d%3C0$ ，则 $%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Csqrt%7Bd%7D)$ 的所有 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 嵌入均是虚的.对里面的一个元素 $a%2Bb%5Csqrt%7Bd%7D%5C%2C(a%2Cb%5Cin%5Cmathbb%7BQ%7D)$ ,其所有共轭元素为 $a%2Bb%5Csqrt%7Bd%7D%2Ca-b%5Csqrt%7Bd%7D$ ，因此 $T_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Csqrt%7Bd%7D)%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(a%2Bb%5Csqrt%7Bd%7D)%3D(a%2Bb%5Csqrt%7Bd%7D)%2B(a-b%5Csqrt%7Bd%7D)%3D2a%2C$ $N_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Csqrt%7Bd%7D)%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(a%2Bb%5Csqrt%7Bd%7D)%3D(a%2Bb%5Csqrt%7Bd%7D)(a-b%5Csqrt%7Bd%7D)%3Da%5E2-b%5E2d$ .判别式 $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3D%5Cleft(%5Cdet%5Cbegin%7Bpmatrix%7D1%26a%2Bb%5Csqrt%7Bd%7D%5C%5C1%26a-b%5Csqrt%7Bd%7D%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cright)%5E2%3D4b%5E2d$ .进一步的一个例子是 $d%3D-1$ 的情形，此时 $N_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Csqrt%7B-1%7D)%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(a%2Bb%5Csqrt%7B-1%7D)%3Da%5E2%2Bb%5E2$ 与通常的复数的模长是一致的.在下一节我们将看到这一点的威力.

$%0A%5Czeta_p$ 的极小多项式是 $%5Cfrac%7Bx%5Ep-1%7D%7Bx-1%7D%3D1%2Bx%2B%5Ccdots%2Bx%5E%7Bp-1%7D$ ，其所有根是 $%0A%5Czeta_p%2C%5Czeta_p%5E2%2C%5Ccdots%2C%5Czeta_p%5E%7Bp-1%7D$ ， $%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Czeta_p)$ 是 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 的 $p-1$ 次扩张.因而 $%5Cmathbb%7BQ%7D(%0A%5Czeta_p)$ 的所有 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 嵌入构成Galois群 $%5Coperatorname%7BGal%7D%5Cmathbb%7BQ(%5Czeta_p)%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D$ ，且这个群是循环的： $%5Coperatorname%7BGal%7D%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Czeta_p)%2F%20%5Cmathbb%7BQ%7D%5Ccong(%5Cmathbb%7BZ%7D%2Fp%5Cmathbb%7BZ%7D)%5E%7B%5Ctimes%7D%5Ccong%20%5Cmathbb%7BZ%7D%2F(p-1)%5Cmathbb%7BZ%7D$ .所有 $p-1$ 个 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 嵌入均是虚的，两两成对.

下面以计算 $d_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Czeta_p)%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p)$ 作为结束：利用 $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3D(-1)%5E%7B%5Cfrac%7Bn(n-1)%7D%7B2%7D%7DN_%7BL%2FK%7D(m_%7BK%2C%5Calpha%7D'(%5Calpha))$ .下面记 $K%3D%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Czeta_p)$ . $%0A%5Czeta_p$ 的极小多项式记为 $f(x)%3D%5Cfrac%7Bx%5Ep-1%7D%7Bx-1%7D$ .对 $(x-1)f(x)%3Dx%5Ep-1$ 两边求导得到 $(x-1)f'(x)%2Bf(x)%3Dpx%5E%7Bp-1%7D$ .代入 $%0A%5Czeta_p$ 得 $(%5Czeta_p-1)f'(%5Czeta_p)%3Dp%5Czeta_p%5E%7Bp-1%7D$ 即 $(%5Czeta_p-1)f'(%5Czeta_p)%3Dp%5Czeta_p%5E%7Bp-1%7D$ $(%5Czeta_p-1)f'(%5Czeta_p)%3Dp%5Czeta_p%5E%7Bp-1%7D$ $(%5Czeta_p-1)f'(%5Czeta_p)%3Dp%5Czeta_p%5E%7Bp-1%7D$ 即 $f'(%5Czeta_p)%3D%5Cfrac%7Bp%5Czeta_p%5E%7B-1%7D%7D%7B%5Czeta_p-1%7D$ .因此我们要计算 $d_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p)%3D(-1)%5E%7B%5Cfrac%7B(p-1)(p-2)%7D%7B2%7D%7DN_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Cfrac%7Bp%5Czeta_p%5E%7B-1%7D%7D%7B%5Czeta_p-1%7D)$ .由于 $N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D$ 是个同态，我们只要分别计算 $N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(p)$ , $N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p)$ , $N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p-1)$ .

$N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(p)%3Dp%5E%7Bp-1%7D$ . $N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p)%3D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bp-1%7D%5Czeta_p%5Ek%3D%5Czeta_p%5E%7B%5Cfrac%7Bp(p-1)%7D%7B2%7D%7D%3D1$ , $N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p-1)%3D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bp-1%7D(%5Czeta_p%5Ek-1)%3D(-1)%5E%7Bp-1%7D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bp-1%7D(1-%5Czeta_p%5Ek)$ .注意一个常见的技巧： $f(x)%3D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bp-1%7D(x-%5Czeta_p%5Ek)$ ，代入 $x%3D1$ .得到 $%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bp-1%7D(1-%5Czeta_p%5Ek)%3Df(1)%3Dp$ .因此 $N_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p-1)%3D(-1)%5E%7Bp-1%7Dp$ .最终得到 $d_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Czeta_p)%3D(-1)%5E%7B%5Cfrac%7B(p-1)(p-2)%7D%7B2%7D%7DN_%7BK%2F%5Cmathbb%7BQ%7D%7D(%5Cfrac%7Bp%5Czeta_p%5E%7B-1%7D%7D%7B%5Czeta_p-1%7D)%3D(-1)%5E%7B%5Cfrac%7Bp-1%7D%7B2%7D%7Dp%5E%7Bp-2%7D%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Csquare$