代数数论笔记（一）：迹、范、判别式

2023-04-12 18:57 作者:CupsOfCubs 0人读过 | 我要投稿

仅作为试写.

虽然会费点时间，还是把一些东西给以电子的方式记录下来。这系列笔记，记录方式会比较精炼，没有例子、没有证明。如果有所疑问，或者有错误指出，请直接在评论区评论。

还有，希望大家不要对一些看起来高深的内容望而生畏，进而对这门学科产生回避心理，或者对本人产生赞佩之心。这些内容，其实在花一些学习时间戳破外表后，还算容易。

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在代数数论中，我们关心 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 的在 $%5Cmathbb%7BC%7D$ 内的有限扩张（将这类域称作数域. 由此可以看见 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 是一个最小的数域）. 由本原元定理，任何这样的扩张 $K%2F%20%5Cmathbb%7BQ%7D$ 都可以写成单扩张 $K%3D%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Cgamma)$ . $K$ 到 $%5Cmathbb%7BC%7D$ 的一个保持 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ 的单射称作 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入. 由此可以看到 $K$ 的一个 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入由 $%5Cgamma$ 的像决定，而 $%5Cgamma$ 的像可以选取 $m_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D%2C%5Cgamma%7D$ 的根. 从而 $K$ 有 $%5Coperatorname%7Bdeg%7D%20m_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D%2C%5Cgamma%7D%3D%5BK%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D$ 个 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入. 这里 $m_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D%2C%5Cgamma%7D$ 表示 $%5Cgamma%E5%9C%A8%5Cmathbb%7BQ%7D$ 上的极小多项式.

注1：复共轭 $z%5Cmapsto%20%5Cbar%7Bz%7D$ 是 $%5Cmathbb%7BC%7D$ 一个天然的自同构，利用这个自同构，我们可以对数域 $K%0A$ 的到 $%5Cmathbb%7BC%7D$ 的嵌入 $%5Csigma%3AK%5Chookrightarrow%20%5Cmathbb%7BC%7D$ 作一个共轭： $%5Cbar%7B%5Csigma%7D%3AK%5Chookrightarrow%20%5Cmathbb%7BC%7D%3B%5Calpha%5Cmapsto%5Coverline%7B%5Csigma(%5Calpha)%7D%20$ ，同样也是个 $K%0A$ 的到 $%5Cmathbb%7BC%7D$ 的嵌入.如果 $%5Csigma$ 是一个 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入， $%5Cbar%7B%5Csigma%7D$ 也是一个 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入.所以我们可对有限个 $K%0A$ 的 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入进行一个简单的分类：如果 $%5Csigma%3D%5Cbar%7B%5Csigma%7D%5Ciff%20%5Csigma(K)%5Csubseteq%20%5Cmathbb%7BQ%7D$ ，则称这个 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入是实的；否则 $%5Csigma$ , $%5Cbar%7B%5Csigma%7D$ 是不同的嵌入，称它们为虚的，这样的嵌入是两两成对的. 这样子，可以设 $K%0A$ 有 $r_1%0A$ 个实的 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入， $2r_2%0A%0A$ 个虚的 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入，则总嵌入个数 $%5BK%3A%5Cmathbb%7BQ%7D%5D%3Dr_1%2B2r_2$ .注意嵌入是由本原元的像决定的， $K%3D%5Cmathbb%7BQ%7D(%5Cgamma)%0A$ 的一个 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入 $%5Csigma$ 是实的当且仅当 $%5Csigma(%5Cgamma)%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D$ （这与本原元 $%5Cgamma%0A$ 的选取无关）.因此 $r_1%0A$ 为 $%5Cgamma%0A$ 极小多项式 $m_%7B%5Cmathbb%7BQ%7D%2C%5Cgamma%7D$ 实根个数， $2r_2$ 为虚根个数.

一般地、对数域的扩张 $L%2FK$ 都存在本原元，即 $L%3DK(%5Cgamma)$ . 从而 $%5Cgamma%0A$ 有 $%5Coperatorname%7Bdeg%7D%20m_%7BK%2C%5Cgamma%7D%3D%5BL%3AK%5D$ 个 $K%0A$ -嵌入（定义与 $%5Cmathbb%7BQ%7D$ -嵌入类似）.由此，我们可以对域扩张的元素引入迹(trace)与范(norm)的概念.定义 $T_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3D%5Csum_%7B%5Csigma%7D%5Csigma(%5Calpha)$ , $N_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3D%5Cprod_%7B%5Csigma%7D%5Csigma(%5Calpha)$ .这里 $%5Csigma%0A$ 遍历所有 $K%0A$ -嵌入.我们将在后续内容见识到这个工具的强大，可以说这个工具贯穿始终.

注2：可以看出迹与范和 $%5Calpha%20$ 的极小多项式（通过韦达定理）有一些联系.事实上，作 $L%2FK$ 的中间域 $K(%5Calpha)$ 并设 $%5Calpha%20$ 在 $K%0A$ 上的极小多项式 $m_%7BK%2C%5Calpha%7D%3Dx%5Em%2Bc_1x%5E%7Bm-1%7D%2B%5Ccdots%2Bc_m%5Cin%20K%5Bx%5D%2Cn%3D%5BL%3AK%5D%2Cm%3D%5BK(%5Calpha)%3AK%5D$ .有 $T_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3D%5Cfrac%7Bn%7D%7Bm%7D(-c_1)$ , $N_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3D((-1)%5Emc_m)%5E%7B%5Cfrac%7Bn%7D%7Bm%7D%7D$ .道理大致是：每一个更大的域 $L$ 上的 $K%0A$ -嵌入都可以通过限制，限制到更小的域 $K(%5Calpha)$ 的 $K%0A$ -嵌入，而反过来， $K(%5Calpha)$ 的 $K%0A$ -嵌入都可以延拓到 $L$ 上，而不同延拓的个数为 $%5BL%3AK(%5Calpha)%5D%3D%5Cfrac%7Bn%7D%7Bm%7D$ .再次提醒：如有疑问或有错误指出，可以直接在评论区评论.

注3：由注2，我们立刻注意到： $T_%7BL%2FK%7D%3AL%5Crightarrow%20K%2CN_%7BL%2FK%7D%3AL%5E%7B%5Ctimes%7D%5Crightarrow%20K%5E%7B%5Ctimes%7D$ .它们还是群同态.也就是，它是一个从更小域里刺探更大域里面元素性质的一个方法.

接着可以讨论一组元素 $%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n$ 的判别式（discriminant）.定义 $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n)%3D%5Cleft(%5Cdet%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Csigma_1(%5Calpha_1)%26%5Csigma_1(%5Calpha_2)%26%5Ccdots%26%5Csigma_1(%5Calpha_n)%5C%5C%5Csigma_2(%5Calpha_1)%26%5Ccdots%26%5Ccdots%26%5Ccdots%5C%5C%0A%5Ccdots%26%5Ccdots%26%5Ccdots%26%5Ccdots%5C%5C%0A%5Csigma_n(%5Calpha_1)%26%5Ccdots%26%5Ccdots%26%5Csigma_n(%5Calpha_n)%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cright)%5E2%3D(%5Cdet(%5Csigma_i(%5Calpha_j))_%7Bi%2Cj%7D)%5E2$ .这里 $%5C%7B%5Csigma_j%5C%7D_%7Bj%3D1%2C%5Ccdots%2Cn%7D$ 为 $%5BL%3AK%5D%3Dn$ 个 $K%0A$ -嵌入. 当然，这与 $%5Csigma%2C%5Calpha$ 的排序无关.

注4：它名叫判别式的理由是，可以证明 $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n)%5Ciff%20%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n$ 是 $K%0A$ -线性无关的，从而它们张成了 $L$ . 简单的证明方法是构造双线性型 $%5Cleft%3C%5Calpha%2C%5Cbeta%5Cright%3E%3DT_%7BL%2FK%7D(%5Calpha%5Cbeta)$ ，它作为 $K%0A$ -双线性型的表示矩阵的行列式即为 $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n)$ .

注5：没错， $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha_1%2C%5Ccdots%2C%5Calpha_n)$ 总是在 $K%0A$ 中.

对任何一个元素 $%5Calpha%5Cin%20L$ ，可以单独的定义其判别式 $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3Dd_%7BL%2FK%7D(1%2C%5Calpha%2C%5Ccdots%2C%5Calpha%5E%7Bn-1%7D)$ . 作为练习，请证明： $d_%7BL%2FK%7D(%5Calpha)%3D(-1)%5E%7B%5Cfrac%7Bn(n-1)%7D%7B2%7D%7DN_%7BL%2FK%7D(m_%7BK%2C%5Calpha%7D'(%5Calpha))$ .这里 $m_%7BK%2C%5Calpha%7D'$ 是多项式 $m_%7BK%2C%5Calpha%7D$ 的形式导数， $n$ 是 $m_%7BK%2C%5Calpha%7D$ 的次数（证明是一些线性代数）.