《几何原本》命题4.12【夸克欧氏几何】
命题4.12：
可作一已知圆的外切正五边形
已知：圆ABCDE
求：作圆ABCDE的外切正五边形
解：
作圆ABCDE的内接正五边形，其顶点为点A,B,C,D,E
（命题4.11）
分别过点A,B,C,D,E作圆ABCDE的切线GH,HK,KL,LM,MG，交点分别记为点G,H,K,L,M
（命题3.16推论）
求出圆ABCDE的圆心点F
（命题3.1）
连接BF，CF，DF，KF，LF
（公设1.1）
求证：五边形GHKLM等边且等角
证：
∵KL切圆ABCDE于点C
（已知）
∴CF⊥KL
（命题3.18）
∴∟FCK是直角
（定义1.10）
∴Rt△CFK中，S正方形FK2=S正方形CF2+S正方形CK2
（命题1.47）
同理可证，Rt△BFK中，S正方形FK2=S正方形BF2+S正方形BK2
∴S正方形CF2+S正方形CK2=S正方形BF2+S正方形BK2
（公理1.1）
∵点F为圆ABCDE的圆心
（已知）
∴BF=CF
（定义1.15）
∴S正方形CF2+S正方形CK2=S正方形CF2+S正方形BK2
（公理1.1）
∴S正方形CK2=S正方形BK2
（公理1.3）
∴CK=BK
∵BF=CF，FK公用
（已知）
∴△BFK≌△CFK，∠BFK=∠CFK，∠BKF=∠CKF
（命题1.26）
∴∠BFC=2∠CFK，∠BKC=2∠CKF
（公理1.2）
同理可证，∠CFD=2∠CFL，∠DLC=2∠FLC
∵BC=CD
（已知）
∴◠BC=◠CD
（命题3.28）
∴∠BFC=∠CFD
（命题3.27）
∴∠CFK=∠CFL
（公理1.1）
∵CF⊥KL
（已证）
∴∟FCK=∟FCL
（定义1.10）
∵CF公用
（已知）
∴△CFK≌△CFL，CK=CL，∠CKF=∠CLF
（命题1.26）
∴KL=2CK
（公理1.2）
同理可证，HK=2BK
∵CK=BK
（已证）
∴2CK=2BK
（公理1.2）
∴HK=KL
（公理1.1）
同理可证，五边形GHKLM其余的边都相等
∵∠CKF=∠CLF
（已证）
∴2∠CKF=2∠CLF
（公理1.2）
∵∠BKC=2∠CKF，∠DLC=2∠FLC
（已证）
∴∠BKC=∠DLC
（公理1.1）
同理可证，五边形GHKLM其余的角都相等
证毕
此命题的证明方法将在本卷后几个命题中经常被提到
PS：按照这一命题中的方法，可以在已知圆的内接正n边形的基础上作外切的正n边形
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