闭环系统设计【1】——比例控制
前文回顾
在前文中我介绍了「开环系统传递函数Open Loop Transfer Function」、「闭环系统传递函数Close Loop Transfer Function」和「开环传递函数Loop Transfer Function」以及它们的系统框图，不熟悉的话请回看之前的文章。
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同时推荐我翻译的《理解零点和极点》，以帮助理解本文。
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正文
1、系统建模
假设有一个水池，其底面积为A；水位高度为h；水箱底有个漏水孔，其流阻为R；不考虑自然下雨蒸发，设计一个自动注水系统控制注水流量f，使得水位h保持在10。
漏水速度与水压有关，而水压又与水位高度有关，所以漏水速度loss=ρgh/R。由于不考虑自然下雨蒸发（外界干扰），所以其扰动D(s)=0。于是水池中水体积的变化量为dv=f*dt-loss*dt=A*dh（变化的水体积=注水量-漏水量=水池底面积*变化的水位），由此可以列出微分方程：
对其进行拉普拉斯变换后即可得到其系统传递函数G：
显然这是一个一阶系统，其拥有一个极点。由于物理量ρg/AR都是正数，所以其极点位于左半平面，系统稳定。
为了简化问题，把一些参数归一化。令A=1、ρg/AR=1，则可得开环系统传递函数Open Loop Transfer Function为G=1/(s+1)，其极点p=-1。令水位传感器H=1，待设计的控制系统C=K，目标水位h=10，此时便得到了闭环系统的框图：
2、比例控制
K是个常数，我们给系统引入了一个最简单的控制逻辑——比例控制。K是对误差Error的敏感程度，换句话说就是注水系统的注水流量对水位差的放大程度。K的值越大，在等同水位差时注水流量越大。于是可以得出环路传递函数Loop Transfer Function为GCH=K/(s+1)，|GCH|称为环路增益Loop Gain，所以调节K就是在调节环路的增益Gain。
最终系统的闭环传递函数Close Loop Transfer Function为GC/(1+GCH)，我们需要求出其极点，也就是特征方程1+GCH=0的根。解1+K/(s+1)=0得s=-(K+1)，也就是极点p=-(K+1)。由于目标值Reference是个常数10，所以其拉式变换式为10/s，于是可以得出水位为h(t)=10K/(K+1)*(1-exp(pt))（假设初始水位为0），初始值为0，随着时间推移水位指数衰减到10K/(K+1)处。
PS：有人或许会想Close Loop Transfer Function的分子G也有个极点啊，别忽略了呀！实际上这个极点特征方程也有，一个在分子一个在分母相互抵消没了，所以Close Loop Transfer Function极点只剩下特征方程的根了。可以自行推算公式证明。
通过以上结果可以观察到，Close Loop Transfer Function的极点p，在输出水位的exp指数项里头。这也说明为什么设计系统要保证所有极点都在左半平面。在左半平面时p的实数部是负数，对应于衰减的exp指数项；如果p在右半平面，则p的实数部是个正数，意味着exp是个增长的、指数爆炸的输出，系统就是不稳定的。
同时我们发现，其极点p的位置与增益K有关。令p>0时可以求得K<-1。K是个负数意味着注水系统是一个相反的逻辑：水位偏低时（Error>0）不仅不注水还反向抽水；水位偏高时（Error<0）还继续往里注。显然这种操作不但不能让水位达到目标水位，反而会距离目标越来越远。K为负数但没小于1时系统没有发散是因为漏水的约束。虽然水位偏高了还继续往里注水，但由于水位上升会导致漏水加强，两者达到了一个平衡后水位也就不再增长了。当K<-1后由于注水力度大于漏水的自然调节，系统就会发散。
PS：当极点p位于虚轴时，系统为临界稳定。因为其指数项exp始终是一个常数，虽然不会发散但也不会衰减（可以认为系统能量无法释放）。一旦外部激励施加到极点位置时（外部能量注入），极点将变成“双重极点”（两极点位置重合），此时系统输出发散（一直注入能量但无法释放），系统变为不稳定。典型例子为无阻尼振荡系统施加共振频率，共振振幅将变成无穷大。
当K为正数时极点p位于左半平面，而且K值越大p越往左（远离原点）。极点左移意味着exp项衰减速度越快，系统的响应速度也越快。即调大K值会加快系统的响应速度，如下图所示：
我们发现调大K值有利于提高系统的响应速度，使得水位更快接近目标值。这就是比例控制最直接的体现：提高系统作用的力度以加快系统的响应。但有时候K并不是越大越好，这个问题留到下一篇文章分析。
3、稳态误差
细心的读者应该会发现，不同的K值最终水位的稳定高度也不一样，但始终与目标水位10有个误差，这个误差称为稳态误差。稳态误差定义为系统稳定后目标值与稳定值的差值，即
通过上面计算可以知道水位最终稳定高度为10K/(1+K)，于是可以求得ess=10-10K/(1+K)=10*1/(1+K)。可以看到ess也是和K有关，通过图5验证：当K=1时可得ess=5；K=10时可得ess=0.91。K越大误差越小，但无法等于0。或许你会想，让K→∞，那稳态误差不就没有了吗？然而现实情况中会有很多非线性约束。在系统设计中讨论的一般是BIBO（Bounded Input Bounded Output）系统，无界的输入将使得系统不再是线性系统，上述的模型计算都将失效。以注水系统来说，注水系统也没法实现水位偏差一点点时就往里注入无穷大的水流量。既然K无法取得无穷大，稳态误差就会存在，所以这就是比例控制的缺陷：无法消除稳态误差。想要消除稳态误差，仅仅使用比例控制是不够了，需要引入新的控制手段。这个问题留到下一章讨论，现在讨论一些新的知识。
4、终值定理
前文在计算稳态误差时，是解出了输出水位表达式h(t)=10K/(K+1)*(1-exp(pt))。但问题是并不是所有的系统都会像一阶系统这么容易解出结果。这里有一份二阶系统的输出解，可以看看输出表达式有多复杂，计算过程略（大概24页A4纸）。
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如果是三阶或更高阶的系统，其输出表达式就更难求解了。我们需要一个简单的手段解出稳态误差，下面有请终值定理：
在极限存在的情况下，稳态误差为：
以水池系统为例，我们可以计算水位的稳态误差为：
可见最后值与前面算出来的一样。终值定理好处在于可以不用求出解析解时直接从复频域中得出终值，前提是时域的极限存在。比如K=-5时系统是发散的，求出的ess=-2.5是无意义的。
5、根轨迹
同上，我们求解特征方程1+GCH=0的根得到极点p=-(K+1)。因为一阶系统是个一元一次方程所以容易求解。随着系统阶数增加，我们将面临一元三次方程甚至一元五次方程，其求解将异常困难。所以伊文思(w.R.Evans) 提出了根轨迹。
为了直观理解根轨迹，先看以下图片：
假设另一个系统（先忘掉水池系统）的Loop Transfer Function为(s+2)/(s(s+1))，其具有一个零点：z1=-2，两个极点：p1=0、p2=-1，其根轨迹为：
可以直观的看到，随着K的变化，闭环系统的极点位置也在变化，也就是特征方程1+GCH=0的根也在变化。随着K从0→∞，根在复平面上行走留下了一串轨迹，其轨迹定义为根轨迹。通过根轨迹可以知晓极点的走向，从而通过指定极点p的位置倒算出需要设置K的值（使用计算机）。
当K=0时，可以认为反馈被“切断”，Close Loop极点的位置即为Loop极点位置。所以我们是在拿Loop Transfer Function来绘制根轨迹以确定Close Loop Transfer Function的极点走向。当K=∞时，Close Loop极点的位置在Loop零点的位置（没有零点则无穷远）（可以通过数学证明，此略）。即Close Loop极点起于Loop极点，终于Loop零点。
这里也可以为零点作用给出一个解释：对于纯开环系统Open Loop System，输出取决于极点，零点用于影响极点的输出权重。但由于极点位置固定，输出特性无法改变。而在闭环系统Close Loop System中，零点还起到影响根轨迹的作用，从而改变极点位置，最终改变输出特性。
如下图16所示，与图15对比，当添加一个零点z2=1后，根轨迹的走向被完全改变：
对于特征方程1+GCH=0，可以得GCH=-1，也就是说根的幅角arg(GCH)=π，即180°。所以整个根轨迹都会满足幅角=π，作出Loop Transfer Function的幅角图像，可以看出非常明显的颜色分区如图14、17所示，交界处即为根轨迹：
读者可以自行学习更多根轨迹的知识，了解根轨迹的性质以及如何作出根轨迹。在这里允许偷一下懒，利用计算机程序MATLAB，便可快速得出根轨迹以及对应的K值，以水池系统为例：
T=zpk([],[-1],1);
rlocus(T);
6、伯德图Bode Plot
根轨迹提供了一个从时域的视角观察系统响应。伯德图则是提供了频域的视角观察系统响应。而观察的对象也是Loop Transfer Function，可以说它再次起到了一个中间者的角色。
还是以水池系统为例，令K=10，现在看看Loop Transfer Function的幅值函数图，将其对数化+二维化后得到伯德图：
首先看幅值伯德图，横轴是频率（rad/s），纵轴是开环增益Loop Gain（dB），分贝与增益换算关系为dB=20*log(|GCH|)。即20dB代表了10倍的增益、40dB代表100倍增益；以此类推-20dB代表0.1倍增益，-40dB代表0.01倍增益，而0dB代表增益为1，即环路对信号既无放大也无缩小。水池系统以K=10为例，可以看到起始增益为20dB。
水池系统有个原生极点p=-1，所以在频率ω=1的位置产生一个转折频率，幅值曲线开始以-20dB/dec的斜率降低，说明该系统为一阶系统。以此类推，当幅值曲线以-40dB/dec的斜率下降时表明该系统是二阶系统。一个极点产生-20dB/dec的斜率；而一个零点会产生+20dB/dec的斜率。记住这个结论。
当幅值曲线具有负斜率后，它将一直下降并在某个频率ω穿过0dB轴。幅值低于0dB时意味反馈信号比输入时还弱，其起到的反馈效果大打折扣，可以近似认为没有反馈，系统开环Open Loop。于是乎0dB轴成为了一个分水岭，幅值高于0dB的频率才有反馈效果，而低于0dB的频率则被系统忽略/抑制。
幅值曲线与0dB的交点对应的频率ω称为“穿越频率ωcross”、“截止频率”。同样地它也成为了一个分水岭，低于截止频率的频率有反馈效果，高于截止频率的频率被系统忽略/抑制。而截止频率被称之为系统的带宽。如水池系统为例，其截止频率ω=10 rad/s。
现在看相移（幅角）伯德图，横轴是频率（rad/s），纵轴是相移（°）。往环路中注入正弦波信号，正弦波绕了一个环路后，它相较注入时产生了相移，这个相移就是环路的相移。相移为正数表示超前；相移为负数表示滞后。观察相移曲线也会发现，在ω=1的位置相移为-45°，那里正是原生极点的位置，而总相移达到了-90°。同样记住这个结论：一个极点产生-90°的总相移（滞后）；一个零点产生+90°的总相移（超前），前提是零极点都在左半平面。
同幅值曲线一样，相移曲线有个关键位是180°、-180°相移。当相移达到±180°后，意味着反馈反相（sin(t±180°)=-sin(t)），负反馈变成了正反馈。以水池系统为例，当K为负数时产生的效果上文已经分析。所以在设计系统时必须注意相移曲线，在截止频率内相移必须控制在±180°以内，一旦达到/穿过±180°线意味着系统不再稳定。而截止频率外由于可以近似无反馈，相移达到/越过±180°不会造成自激。图21为当K=-10时水池系统的Loop Transfer Function伯德图，可与图20对比：
现在观察当调整K值（增益）时，伯德图会有什么变化。图22为K=5时水池系统的Loop Transfer Function伯德图，可与图20（K=10）对比：
看伯德图主要看这几个参数：
1、低频增益Gain；
2、截止频率ωcross；
3、穿过0dB轴斜率dB/dec；
4、截止频率处相移以及相角裕度PM。
可以看到调节增益K只会影响幅值曲线（上下平移），而对相移曲线没有影响（K取正数时）。所以改变K只会改变低频增益Gain和截止频率ωcross，而对斜率和相移特性无改变，但会改变相角裕度。现列出不同水池系统不同K值对应的参数进行对比：
K=5： Gain=14dB、ωcross=4.9、斜率=-20dB/dec、Phase=-78.4°、PM=101.6°；
K=10：Gain=20dB、ωcross=10、斜率=-20dB/dec、Phase=-84.2°、PM=95.8°。
通过这几个参数可以得出以下结论：
1、K=5的低频环路增益Gain比K=10的小，所以K=5的系统的稳态误差比较大；
2、K=10的系统截止频率比K=5的大，说明K=10的系统反应速度（exp项收敛速度）比较快；
3、两个系统幅频曲线斜率均为-20dB/dec，说明两个系统均为一阶系统；
4、两个系统的相角裕度均超过90°，不会穿越-180°线，系统均稳定不会自激。
伯德图相较于根轨迹比较好画，读者可以看我翻译的文章后面有个简易绘制伯德图方法。当然借助计算机程序MATALB也可以轻松绘制伯德图，以注水系统为例：
T=zpk([],[-1],1);
margin(T);
grid on;
总结
本文虽然讲的是比例控制，但花了大量篇幅在终值定理、根轨迹、伯德图上。因为比例控制仅仅是控制手段，但控制后的效果需要使用分析工具进行分析，而这些都是分析工具，所以在第一篇中提前讲述了分析工具，熟练掌握分析工具非常重要。
顺便说一个，控制系统设计往往没有最优解，是各个指标参数相互妥协的结果。以水池系统来说，看起来K值越大越好，但能大到多少就看现实情况了。比如注水系统最大注水量制约，或者由于注水太快受到水的惯性/传感器延迟导致模型失效等等。一般来说只要满足到设计要求即可，比如要求1s内完成注水工作，那K值只要设置3以上就够了；但如果加了条件要求稳态误差小于1，那K值得9以上才满足要求。总之还是看需求设置。（完）
HD-nuke8800
2022/5/1
