《哲学阶梯》第17集——芝诺：阿基里斯能追上乌龟吗？
原创通识课|《哲学阶梯》第17集——芝诺：阿基里斯能追上乌龟吗？
哲学即哲学史——黑格尔
《哲学阶梯》第17集
之
芝诺：阿基里斯能追上乌龟吗？
（视频版）
，时长09:40
（文字版）
芝诺：阿基里斯能追上乌龟吗？
文/曾斌
在《毕达哥拉斯：戴着面纱思考的神秘人》那一集里，我们讲到了由毕达哥拉斯定理所引发的第一次数学危机——不可通约的无理数。有人问：“第二次数学危机呢？”这就要从芝诺的阿基里斯悖论说起。
阿基里斯是特洛伊战争的英雄，有“飞毛腿”之称的美誉。在古希腊神话中，神与神所生的儿子是神，人与人所生的儿子是人，神与人所生的儿子是英雄。我们都很熟悉龟兔赛跑的故事，但这个故事的最早版本是阿基里斯与乌龟赛跑。据说某一天，阿基里斯找到乌龟，对乌龟说：“我们来赛跑吧，你到我前面去，看我什么时候追上你？”于是乌龟跑到阿基里斯前面的一段距离，让阿基里斯来追它。常识告诉我们，阿基里斯比乌龟跑得快，只要一直追下去，总会追上乌龟。但芝诺不这么认为，在他看来，问题没有这么简单。
（Pic/Google）
芝诺精心设定了一个追不上乌龟的思想实验。一开始阿基里斯与乌龟保持一段距离，当阿基里斯跑到乌龟原来的那个位置A点时，乌龟向前跑了一段距离，跑到了B点。阿基里斯继续从A点出发追乌龟，追到B点，这时乌龟跑到了C点；阿基里斯又从B点出发追乌龟，追到C点，这时乌龟跑到了D点……如此重复下去，阿基里斯与乌龟总有一段距离，这段距离会随着时间的推移变得越来越小，但却不会等于零，这样阿基里斯就不能追上乌龟。你一定会想：芝诺是不是疯了？明摆着，阿基里斯肯定能追上乌龟，不信让他追追看。芝诺当然知道阿基里斯能够追上乌龟，但他要你从理论上来反驳他的论证，而不是通过实际行动来反驳他的论证。论证是需要讲道理的，是需要给出理由的，不是比谁的声音大，谁的胳膊粗。
阿基里斯悖论引发了第二次数学危机——无穷小的问题，这场危机持续了1500年之久。牛顿和莱布尼兹受到这种启发后，分别独立地发明了微积分。一些数学家认为，无穷小等于零，因为你无法在无穷小与零之间找到一个数。哲学家不这样看，即使你无法在无穷小与零之间找到一个数，那也不能证明它们相等。这就是说，阿基里斯会无限地接近乌龟，但却永远追不上乌龟。
阿基里斯悖论隐藏着一个怎样的前提？阿基里斯之所以永远追不上乌龟，是因为空间可以无限分割。在空间可以无限分割的情况下，阿基里斯无论跑得多么快，都会与乌龟保持一段距离，而不会追上乌龟。追上乌龟意味着，阿基里斯与乌龟的距离变为零，也就是无穷小等于零。无穷小等于零？这是一个什么问题呢？我们需要区分物理学与数学这两门学科的性质。
为了澄清这个问题，我不得不抛出“先验”这个概念。先验，简单说，就是那个使经验得以可能的东西，就是经验的可能性条件。我们一个例子来说吧。你正在打台球，用球杆瞄准一个球，轻轻一击，成功地将它打进洞里。这里发生了两件事：一、你用球杆撞击球；二、球滚入洞里。如果我问你球为什么会滚入洞里，你一定会说我打进去的啊。很显然，你把第一件事当作第二件事的原因，你用到了因果关系。对，没错，因果关系！因果关系把这两件事联系起来。根据康德，因果关系是人所拥有的一种主观的先验能力，它使经验得以可能，使我们能够认识这个世界，每一个经验活动的发生都以先验为前提。如果没有因果关系，你就不能说“你用球杆撞击球”是“球滚入洞里”的原因，甚至根本不可能把这两件事联系起来。这也就是先验的意思，它是使经验得以可能的条件。
数学是一门先验学科，物理学是一门经验学科。从数学意义上看，空间的确可以无限分割；但从物理学意义上看，空间就不能无限分割。不妨想一想，物理学是不是一直在寻找一个不可分割的东西，把它当作构成一切物质的起源。从原子到夸克，从夸克到弦，物理学一直在寻找一个终极之物，不管它是波还是粒子。假如物理学认为物质可以无限分割的话，那它就不是物理学了，而是数学了。为什么呢？因为数学涉及的理念是无限的，而物理学涉及的理念是有限的。现代科学，就其本质而言，是一种数学的理念化的结果，早已脱离了它所由之产生的那个经验源泉。因此，阿基里斯之所以追不上乌龟，是因为空间可以无限分割，这是从数学的角度来说的；阿基里斯之所以追得上乌龟，是因为空间不能无限分割，这是从物理学的角度来说的。
阿基里斯悖论蕴含着怎样的哲学意义呢？那就是理念世界与现实世界的无法磨平的差异：理念世界是完美的，现实世界永远是残缺不全的。一厘米的长度是一个理念，你知道它是什么，但你不可能在纸上画出一厘米，你要么画得太长，要么画得太短，总之就不是一厘米。同样的，你也不可能画出一个三角形本身，你画出的只是这个三角形或者那个三角形，也就是作为个别之物的三角形。然而，三角形本身不是这个三角形或者那个三角形，而是三角形的理念，那个不可能在现实世界出现的三角形。没有一厘米的理念，你甚至连画一厘米都不能进行；同样，没有三角形的理念，你甚至连画三角形都不能进行。这说明了什么呢？现实世界尽管严格遵循理念世界的规律，但永远与理念世界隔着一条不可逾越的鸿沟。我们在柏拉图的洞穴比喻中将会着重讲这一点。
（Pic/google）
芝诺是巴门尼德的得意门生。据亚里士多德在《物理学》中记载，芝诺发明了四个悖论，除了阿基里斯悖论外，还有二分法悖论、飞矢不动悖论、运动场悖论。芝诺提出这些悖论都是为了支持巴门尼德的存在学说，即存在是不动不变的，存在是一。芝诺悖论的意义在于两点：一、没有事物是变化的，或者换一种说法，运动是虚幻的，只有静止才是真实的；二、在面对一个问题时，不能满足于感官的结论，而必须诉诸理性。欲知后事如何，请听下回分解。
