《几何原本》命题3.32【夸克欧氏几何】

命题3.32：

圆的切线与过切点的弦的夹角，等于所夹的弧上的圆周角

已知：圆ABCD，切线EF，点B为切点，弦BD，点C为圆上一点

求证：∠DBF等于◠BC 所对的圆周角，∠DBE等于◠BAD所对的圆周角

解：

过点B作AB⊥EF，与圆ABCD交点记为点A

（命题1.11）

连接AD，BC，CD

（公设1.1）

证：

∵EF切圆ABCD于点B，AB⊥EF

（已知）

∴圆ABCD的圆心在AB上

（命题3.19）

∴AB为圆ABCD的直径

（定义1.17）

∴∠ADB是直角

（命题3.31）

∵△ABD中，∠ABD+∠BAD+∠ADB=两直角

（命题1.32）

∴∠ABD+∠BAD=直角

（公理1.3）

∵AB⊥EF

（已知）

∴∟ABF是直角

（定义1.10）

∵∟ABF=∠ABD+∠DBF

（已知）

∴∠ABD+∠DBF=一直角

（公理1.1）

∴夹角∠DBF=∠BAD

（公理1.1）

∵∠BAD+∠BCD=两直角

（命题3.22）

∴∠DBF+∠BCD=两直角

（公理1.1）

∵∠DBF+∠DBE=两直角

（命题1.13）

∴夹角∠DBE=∠BCD

（公理1.3）

证毕

此命题将在下两个命题中被使用

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