（高中生数学）斯特林公式证明

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斯特林公式（Stirling's approximation）是一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式。一般来说，阶乘的计算复杂度为线性。当要为某些极大大的n求阶乘时，常见的方法复杂度不可接受。斯特林公式能够将求解阶乘的复杂度降低到对数级。而且，即使在n很小的时候，斯特林公式的取值已经十分准确。

斯特林公式如下：

我们已经知道ln(1+x)与ln(1-x)的泰勒展开：

设x=1/(2n+1) ，n=1，2，3，···，得：

所以上式子就变为了：

而右边的式子<

因为左式显然＞1，所以有

取一下指数：

设一下：那么

由上面的不等式知道： 所以该数列其实是单调递减的，且显然一定有下界0

那么该数列的极限一定存在，不妨设为a

最终得到：我们能看出来左右两个数列是单调递增的。

而，所以

又

两边取下指数：

那么游戏就进行到了一半，现在可以得出结论：

把前面的an带进去：

Wallis圆周率无穷乘积公式：

而

将前面的结论n变成2n:

故

带回到极限中：

所以

大功告成，代回我们之前的结论：即斯特林公式。

n很大的时候：

所以

斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义。在数学分析中，大多都是利用Г函数、级数和含参变量的积分等知识进行证明或推导，很为繁琐冗长。近年来，一些国内外学者利用概率论中的指数分布、泊松分布、χ²分布证之。

以下是一个计算斯特林公式的近似值的代码。（使用Python语言）：

请注意，斯特林公式是一个近似公式，对于较大的n，它的近似值更加准确。