电磁场与波：电位移矢量

国内传统的教材在分析电场的思路常为：首先研究自由空间内的电场，接着在自由空间得到的公式的基础上引入相对介电常数  ，将这些公式的适用范围扩展到包含介质的空间，在这个过程中引入了所谓的电位移矢量，使我们能像在自由空间中分析电场一样去分析介质中的电场。

但对于电位移矢量的分析似乎常常停留在一个“替代符号”，而对其物理意义的理解并没有成为重点，笔者在学习中发现电位移矢量在电场分析中十分重要，其给出了物理不同于数学最重要的一点：直观性，反映在对电场分布如何分析的直观性。

故本文我们反其道而行之，从电位移矢量出发，研究自由空间与介质中电位移矢量是如何分布的，以及采用这种方式的一些优点。

首先简单回顾一下电位移矢量的推导过程：

在自由空间中，

我们看到，其实无论是在介质中还是在自由空间中，电位移矢量与电场强度之间只有一个比例常数，故我们在分析电场时可以完全将电场强度用电位移矢量替代。

现在，我们将电位移矢量换一个名称，称其为电通量密度。

现在我们解释为何要将电位移矢量称为电通量密度。

首先我们分析一下散度定理的微分式以及积分式：

接着，我们可以将其使用电位移矢量替代：

现在，我们观察上面的第二个式子，电位移矢量的单位就是 ，这显然是密度的单位，故我们又可以将电位移矢量称为电通量密度。

那么这样规定后，有什么用处呢？

我们先来看几个简单的例子。

例一 自由空间的点电荷

如何分析其电场分布？

方法一：使用高斯定理。

方法二：使用电通量密度。

其中分子是电通量，分母是我们研究的面的面积。

直观来看似乎没有改进多少，但我们从整个思路上再分析一下：

方法一的思路是，首先这是一个高度对称的电荷系统，我们可以直接使用高斯定理、利用对称性求解电场，因为在对称性下，积分式可以被简化为四则运算。接着我们解一个有两个变量的方程，得到电场的分布  .

方法二的思路是，首先这是一个高度对称的电荷系统，电场分布也即电位移矢量分布，我们可以直接使用电位移矢量的另一个身份——电通量密度的定义求解电场，即电通量除以闭曲面的面积，得到 .现在我们求电场分布的想法就变成了：画个球面圈住电荷，将电荷除上球面面积，再根据电荷极性判断一下方向即可。

但该方法的使用情况如何？我们再看一下例二。

例二 平行板电容器电场分析

平行板电容器的极板间为自由空间或均一的理想介质。

很明显，

其中即上下极板的电荷密度。使用高斯定理也可以很容易验证。

但如果极板间的理想介质并不是一样的呢？

读者可以自己分析，结果仍为：

分析一下电场：

由边界条件：

由本构关系：

但如果极板间的介质不仅不同、还非理想呢？

由电流连续性与电场强度的边界条件分析可得：

Now, here comes the bug!! 两次电通量密度不同！可是平行板电容器两极板的电荷密度不是一样的吗？显然这里发生了一些我们意想不到的错误。

这里本文给出的解释是，漏电导致在介质接触面上出现了面自由电荷 ，使得平行板电容器两极板的电荷密度是不一样的。我们对于电通量密度的理解依然是正确的，我们进行一个定性的分析。

对于 ，我们根据电通量密度的定义：

对于 ，我们根据电通量密度的定义：

而由电荷守恒：

所以现在，我们如何理解电通量呢？电通量就是电力线，如同我们定义磁通量与磁力线。

费曼：……当你知道你在说什么时——这是力，这是质量，这是惯性等等——可以用一系列常识性的、经验性的关于世界的感知。随着认识事物的增多，或多或少的，你可以知道该现象的行为模式。然而，“可怜的”数学家会将其转变为对他来说没有意义的符号和方程，他们没有直觉的指导，但有严谨、谨慎的精确数学论点。鉴于物理学家们或多或少知道一些答案的方向，他们会冒出来给出一些猜想，然后剩下的留给数学家们继续。数学中精准的严谨性在物理中不是很有用，对现代数学公理的态度也是。现在，数学家们可以做他们想要做的事情，人们不应该批判他们，因为他们不是物理的奴隶。不能因为这样对你们有用，所以他们必须这样做。他们可以做他们想要的工作，这是他们自己的工作，如果你需要其他东西，请自己来做。

参考：

1.（美）威廉姆·H.哈特，（美）约翰·A.巴克著. 工程电磁场 第9版[M]. 北京：清华大学出版社, 2019.07.

2.谢处方，饶克谨编著. 电磁场与电磁波第四版[M]. 高等教育出版社, 2006.01.