解三角形“范围与最值”没思路？两大做题方法梳理！

解三角形——范围与最值

PS：本视频不含中线与角平分线题型

核心：消元

1.余弦定理与基本不等式

余弦定理使用条件：三边一角

已知三边，求角度，符合

已知三边，虽然是求S，但是S也含有角度，符合

求周长（三个边）和A（一个角度）符合

解题思路：

例题1

虽然题目要求sinB，但是我们不要只限于题目的要求，而是要先判断使用正弦定理还是余弦定理，然后再做题。由于这道题符合余弦定理，因此先求cosB再求sinB

最后用基本不等式求最值

最后用sinx2+cosx2=1求出sin的最值即可

例题2

由于a和c都是加而b是减，因此我们选择1/2acsinB的面积公式

然后用余弦定理进行变形

然后我们会发现两个式子中有sin和cos，因此我们直接利用sinx2+cosx2=1化简求出ac

最后周长有三个变量，因此我们要找到变量的等价关系，然后再利用不等式求解即可

拓展：秦九韶公式推导

总结

例题

角度比较小，因此化为边

由于对边的两条边全部未知，因此我们可以猜测当且仅当a=b时取得C的最大值

证法（利用等价关系+不等关系）

如果是a+nb这种形式求最值或者范围，那么就要使用

2.正弦定理与三角函数

方法：把所有的边变成角来做

三种类型

补充：两种方法的使用条件

例题1

由于此题含有多个变量，因此我们要消元

然后求三角函数的值域

最后求取值范围（先求定义域）

注意：三个角都得是锐角

画图得到答案

例题2

由于abc三个边都是平方，如果全部化为一个边会很麻烦，因此我们可以把边变成角，然后消元即可

分母不要动，所以cos变为sin，且倍数相同

例题3

先把边变为角

移项

对边对角，列正弦定理，然后消元