庄易闲——凯利公式的秘密

2020年5月26日，赌王何鸿燊逝世，享年98岁。

这一天中午，港澳地区突降大雨。

这位知名的港澳企业家，素有“澳门赌王”之称的传奇人物，至此谢幕。

1961年，澳葡政府规定博彩业须通过专营制度实施。

何鸿燊看准时机，接手葡京赌场，从此事业蒸蒸日上。

直至今日，何鸿燊及其家族控制着高达5000亿港元的资产。 

曾有人请教何鸿燊：“如果他们老是赢怎么办？”

老爷子说过一句名言：“不怕你赢,就怕你不来。”

在何鸿燊的眼中，他是不可能输的。

因为他赌的不是运气，而是数学。

一个现代的赌场，它集中了概率学、统计学等诸多知识。

所谓的各种致胜绝技，除了《赌圣》里的周星驰，现实世界里的周润发都不信。

一个痴迷于发财梦的赌徒永远不明白，与自己对赌的不是运气，也不是庄家，而是狄利克雷、伯努利、高斯、纳什、凯利这样的数学大师，赢的概率能有多大？

看得到的是概率，看不见的是陷阱

何鸿燊的记忆力和算力一直堪称神奇，他创业期间，澳门的两千多个电话号码，他能倒背如流。

直接比复杂的赌博游戏，在数学上可能比不过。

就来一个最简单的玩法：与何鸿燊比抛硬币。

规则是这样的：

掷硬币，正面赢反面输，如果你赢了可以拿走比赌注多一倍的钱，如果输了则会赔掉本金。

你一听可能觉得这游戏还不错，公平！

于是你拿出了身上的100元来玩这个游戏，每次下注5元，这样你至少有20次的下注机会。

不过，你运气不太好，第一把就是反面，输了5块钱。

生性乐观的你觉得没什么，反正不管怎么说，赢面都有50%，下一把就可以赢回来。

结果，很快你就把身上的钱都输光了。 

你百思不得其解，明明是公平的50%赢面，在50%概率下至少不会亏本的，可为什么最后会输光？

事实上，你以为自己看到了50%的概率，把游戏看得透彻明白，殊不知，你看到了概率，却没有看到背后的陷阱：大数定律。

大数定律

你觉得游戏是公平的：一正一反，均为50%概率，按照大数定律来说，这是必然规律。

然而，你有没有想过，正是这种你以为的“公平”，让你误解了大数定律，才陷入了“赌徒谬论”里呢？

先来看看这种让你觉得“公平”的大数定律究竟是什么。

它是数学家伯努利提出的：

假设n是N次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每一次试验中A发生的概率，那么，当N趋于无穷时：

式中n表示发生次数，N表示试验总次数。

也就是说，大量重复的随机现象里其实藏着某种必然规律。

还是以掷硬币为例，当投掷次数足够大时，出现正（反）面的频率将逐渐接近于1/2，且随着投掷次数的增加，偏差会越来越小，如下图。这是最早发现的大数定律之一。 

从表面概率看，这确实是场公平的游戏。

但这种公平是有一定条件的，注意，这就是普通人看不到的。

大数定律讲究“大量重复的随机现象”，只有足够多次试验才能使得硬币正反面出现次数与总次数之比几乎等于1/2。

可具体多少次才算“足够多”？才能够把它用在个人对赌上？

没有人知道。因为，概率论给出的答案是——无穷大。谁也不知道无穷大有多大，只知道这是一个令人仰望的数量。

可投掷硬币次数越小，大数定律的身影就越模糊，可能10次中5正5反，也可能9正1反，也可能10正0反或0正10反……

现实往往是，在远未达到“足够多”次试验时，你就已经输了个精光了。

你觉得自己比何鸿燊更有钱吗？

你身上有100元结果如此，你身上有10000元结果也是如此，就算你身上有一百万也是如此，因为你永远不可能有“足够多”。

“输赢概率为50%”，这本身就具有很大的误导性。在硬币抛出之前，50%的概率代表的是可能性；在硬币抛出之后，50%代表的是结果的统计平均值，却并不是实际分布值。

这是你对大数定律的误解之一。

把“大数定律”当“小数定律”，觉得游戏是无条件“公平”的，正面和反面出现的频率都为1/2。

这种在潜意识里被奉为圭臬的“公平”，紧接着让你踏入了第二个误解——“赌徒谬论”。

赌徒谬论

大数定律有一个明显的潜台词：

当随机事件发生的次数足够多时，发生的频率便趋近于预期的概率。但人们常常错误地理解为：随机意味着均匀。

如果过去一段时间内发生的事件不均匀，大家就会“人工”地从心理上把未来的事情“抹平”。也就是，如果输了第一把，那下一把的赢面就会更大。

这种你下一把就可以赢回来的强烈错觉，就是“赌徒谬论”。