《几何原本》命题1.45【夸克欧氏几何】

命题1.45：

可用已知角建立一个平行四边形使其等于已知多边形

已知：多边形ABCD，∠E

求：用∠E建一平行四边形使其等于多边形ABCD

解：

连接BD

（公设1.1）

建▱KFGH，使S▱KFGH=S△ABD，∠K=∠E

（命题1.42）

在线段GH上作▱GHML，使S▱GHML=S△BCD，∠GHM=∠E

（命题1.44）

证明：四边形KFLM是平行四边形，且S▱KFLM=S多边形ABCD

证:

∵∠K=∠E，∠GHM=∠E

（已知）

∴∠HKF=∠GHM

（公理1.1）

∴∠K+∠KHG=∠GHM+∠KHG

（公理1.2）

∵▱KFGH中，KF∥GH

（定义1.22）

∴∠K+∠KHG=两直角

（命题1.29）

∴∠GHM+∠KHG=两直角

（公理1.1）

∴KH，HM在同一直线上

（命题1.14）

∵▱KFGH中，KM∥FG

（定义1.22）

∴∠MHG=∠HGF

（命题1.29）

∴∠MHG+∠HGL=∠HGF+∠HGL

（公理1.2）

∵▱GHML中，GL∥HM

（定义1.22）

∴∠MHG+∠HGL=两直角

（命题1.29）

∴∠HGF+∠HGL=两直角

（公理1.1）

∴FG，GJ在同一直线上

（命题1.14）

∵KF∥GH，GH∥ML

（定义1.22）

∴KF∥ML

（命题1.30）

∵KM∥FL

（已知）

∴四边形KFLM是平行四边形

（定义1.22）

∵S▱KFGH=S△ABD，S▱GHML=S△BCD

（已知）

∴S▱KFGH+S▱GHML=S△ABD+S△BCD

即S▱KFLM=S多边形ABCD

（公理1.2）

证毕

 

此命题在本卷中未被使用

PS：用这种方法，任何直线形都可以被转换成一个平行四边形，这是一个求不规则直线形面积的好方法