『平面几何』五点共圆

题干：

在平面上任选五点A,B,C,D,E，其中任意三点均不共线。顺次连接AB,BC,CD,DE,EA，形成一个五角星（图(1)），交于五点F,G,H,I,J，分别作三角形AFJ，CJI，EIH，BHG，DGF的外接圆，相邻两圆分别交于K,L,M,N,O五点

证明：K,L,M,N,O五点共圆

作辅助线如下图：

证明：

由图形的对称性可知：要证K,L,M,N,O共圆，只需证明K,L,N,O四点共圆即可

即证：∠NOK+∠NLK=180°

⇒∠NOH+∠HOK+∠NLK=180°

⇒∠NBH+∠KIC+∠NLK=180°

⇒∠NBH+∠KLC+∠NLK=180°

⇒∠NBH+∠NLC=180°

⇒B,N,L,C四点共圆

但要直接证明B,N,L,C四点共圆相对困难，这里利用辅助点F证明两对四点共圆，进而证明B,N,L,C四点共圆

  ∠BCL+∠BFL

=∠AJL+∠BFL

=∠AFL+∠BFL=180°

即∠BCL+∠BFL=180°

∴B,F,L,C四点共圆

同理可证：B,F,N,C四点共圆

∴B,N,L,C四点共圆

故原命题得证

Q.E.D.

相关链接：

https://baike.quark.cn/c/lemma/05725349855482#/index

GeoGebra链接：

https://www.geogebra.org/m/mpjvgwsa

瑾以此题，纪念一位已逝的伟人

1926-08-17~2022-11-30