【数学基础123】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. Q是有理数集的缩写，是英语单词quotient（商）的缩写，因为有理数一定是两个整数的商；

2. 【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep2】读懂数学书避不开的逻辑规律：例3；

3. 三角形ABC中，若D为BC的中点，由平行四边形原理可知：AD=（AB+AC）/2；

4. 行列式的性质：

1. 行列互换，行列式不变（把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记为A'）；

2. 行列式一行的公因子可以提出去；

3. 行列式中若有某一行是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和：

   这两个行列式的这一行分别是第一组数和第二组数，则其余各行与原来行列式的相应各行相同；

4. 两行互换，行列式反号；

5. 两行相同，行列式的值为0；

6. 两行成比例，行列式的值为；

7. 把一行的倍数加在另一行上，行列式的值不变。

参考资料：

1. 《数学分析》（陈纪修 於崇华 金路）

2. 《解析几何》（吕林根 许子道 编）

3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）

数学分析——

例题（来自《数学分析（陈纪修 於崇华 金路）》）——

设S={x|x∈Q并且x^2<3}，证明：S在Q内没有上确界与下确界。

证（反证法+分类讨论+放缩法）：假设S有上确界a∈Q，又a^2恒不为3，所以有两种情况——

a.情形一：a^2<3——

1. 存在自然数n，（a+1/n）^2<3，即

   （a+1/n）^2<a^2+2a/n+1/n^2<3，则2a/n+1/n^2<3-a^2；

2. （放缩：对自然数n，n^2>=n，则1/n^2<=1/n）

   2a/n+1/n^2<=（2a+1）/n<3-a^2，即

   n>（2a+1）/（3-a^2），（由阿基米德公理：）这样的n一定存在，于是

   a<a+1/n∈S，于是a不是S的上确界。

b.情形二：a^2>3——

1. 存在自然数n，（a-1/n）^2>3，即

   （a-1/n）^2=a^2-2a/n+1/n^2>3，则-2a/n+1/n^2>3-a^2；

2. -2a/n+1/n^2>-2a>/n>3-a^2，即n>-2a/（3-a^2），（由阿基米德公理：）这样的n一定存在，于是a-1/n也是S的上界，于是a不是S的确界。

综合1，2，a在有理数范围内没有上确界，同理，a在有理数范围内没有下确界。

解析几何——

例题（来自《解析几何（吕林根 许子道 编）》）——

证明四面体对边中点的连线交于一点且互相平分。

证：对四面体ABCD，存在三对对边AB与CD，AC与BD，AD与BC，取AB中点E，CD中点F，EF连线的中点记为P1，其余两组对边中点连线的中点记为P2，P3，要证三点重合，即可以用等价表达式表出——

1. 先找空间中不共面的三个向量作为基底：AB、AC、AD；

2. AP1

   =（AE+AF）/2

   =[AB/2+（AC+AD）/2]/2

   =（AB+AC+AD）/4，

   同理，
   

   AP2=（AB+AC+AD）/4，AP3=（AB+AC+AD）/4，

   即AP1=AP2=AP3，则四面体对边中点的连线交于一点且互相平分，证毕。
   

高等代数——

例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——

证明：

证：