高等数学|3.1 导数的定义

第三章 导数与微分

3.1导数的定义

1.导数的定义 y=f(x)在x。某邻域内有定义，当x在x。处取得增量Δx时，相应的因变量y取得增量Δy=f(x。+Δx)-f(x。) 若

存在，则称f(x)在x。处可导 此极限即为f(x)在x。处的导数

定义式另一种形式：令x。+Δx = x Δx → 0 ⇒x → x。

2.导数的几何意义

y=f(x)在x。处的导数 也就是f(x)在x。处切线的斜率

在（x。，y。）处

切线：y-y。= f'(x。)(x-x。)

法线：y-y。 = -[1/f'(x。)](x-x。)

3.左导数，右导数（从导数定义中衍生而来）

导数与左右导数的关系，类比于函数极限与函数左右极限的关系

4.导数的左极限/右极限

①先求导函数

②再求导函数在该点的左/右极限

结论：导数的左右极限与左右导数无直接联系

5.可导性

f(x)在x。可导，必满足：

①f(x)在x。连续(可导一定连续，连续不一定可导)。

②f(x)在x。处左右导数存在且相等

6.f(x)在[a,b]可导：

①f(x)在(a,b)可导

②f'+(a)和 f'-(b)存在(左端点的右导数，右端点的左导数)

7.分段函数在分段点的导数，一定要用定义来求解，有可能不可导。

8.四则运算

9.常用基本初等函数导数：