高中数学—排列组合中的隔板法

隔板法基础入门

隔板法是高中排列组合必会方法之一，它用于解决相同元素的分配问题，实用性很强。我们来看一个很有生活气息的问题，现在有10瓶矿泉水，让3个同学帮忙带去学校操场，每个人都不能闲着，请问有几种分配方式。

怎么样？生活中是不是经常会接触这种问题，比如工作任务的分配，各种名额的分配等，使用隔板法可以快速地解决分组方案数问题。

将10瓶水分成3组，可以在瓶子内部的9个空位之间随机插入2个隔板，比如A|AA|AAAAAAA，其中A表示第一组，AA表示第二组，AAAAAAA表示第三组。这样的隔板组合方式有C(10-1, 3-1) = C(9,2) 种。

总结一下隔板法的基础题型和结论，将n个相同小球放入m个不同盒子,盒子不空，则在n-1个空位中插入m-1个隔板即可。

运用上面的结论，最基础的题型就被搞定了，接下来让我们一起快乐探究不同的情境，如果改变“盒子不空”的条件，应该怎么去处理。

理解进阶：不定方程的正整数解

上面我们说了10个瓶子分到三个盒子的问题，来对比下面这个方程，

我们把“10”看成“10个整数1”，那么解这个方程的过程就是“把10个1分到三组“，因为正整数解，每个x大于等于1，所以相当于是盒子不空的隔板法问题。

因此，相同元素的分配问题可以理解为”不定方程的正整数解“，它们具有相同的结论。那么这种理解方式的好处是什么呢？

假设我们更改了条件，把“盒子不空”改为“盒子可以为空”，对于方程来说，仅仅是改变了“x的取值范围”，“x大于等于1”改变为“x大于等于0”。

我们只需把x范围更改为原来条件的“大于等于1”，就把问题处理成最开始的题型。所以对每个x进行加1的操作，如下

这就是“13个球分3组”的隔板法，直接使用结论C(12, 2)计算即可。所以方程的形式在处理不同条件时候，更加灵活快捷，也不需记住太多结论，条件的改变仅仅是对“x”范围的改变，我们改回去即可。

题型变化：“闪电五连鞭”

1，9个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，不同的方法有多少种。

2，9个相同的小球放入3个不同的盒子，有的盒子可以不放小球，不同的方法有多少种。

3，9个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子，每个盒子的小球数不少于编号数，不同的方法有多少种。

4，9个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子，恰有一个盒子为空，不同的方法有多少种。

5，9个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，不同的方法有多少种。