10：连续数独和不连续数独（下）

2021-03-05 18:57 作者:SunnieShine 0人读过 | 我要投稿

今天我们将继续探讨连续数独和不连续数独，不过，本节内容是其它类型的定式规则和结构，且目前发现的这样的“品种”非常繁多，所以这一节的内容可能多到让你觉得有点难受。不过，我建议你按照需求来看。不一定一篇文要全部马上就看完。可以先看前面一部分，然后等有空学习后面的东西的时候，再继续看后面的。

Part 10 夹数原理/覆盖原理

连续数独和不连续数独里都存在这样一种约定，如果三格在行或列上一直相邻，则中间的一格会受到两边两格的共同填数的影响。比如不连续定式里的区块定式3，两个3的中间不可填入2和4，否则它两侧都不允许填入3，导致3无位置可填。

如果形成数对结构，这样的定式就会更好用，数对形式可以被拆分看作两个区块结构，于是就会影响更多的中间的填数情况。这样的规则称为夹数规则（或夹数定理）。当然了，如图所示，这样涂色的四格（AC5和B46）的填数都可以影响最中间的一格（B5）。

下面我们就可以利用这样的影响形式，接触一些不连续数独的定式形式。来看一则最特殊的示例。

10-1 夹数原理（1）：258全覆盖

如图所示[1]，观察G行，发现数字2的填数位置只可能是G6。为什么G5不可以呢？

试想一下，如果G5是2，则可以发现，H5无数可填。我们先忽略外部的数字（例如F6的4，G4的6等）对H5的排除作用。其中：

数字2会使得H5不能是1、2、3；
数字5会使得H5不能是4、5、6；
数字8会使得H5不能是7、8、9。

最后，如果2、5、8全部都是H5的相邻格的话，H5就没有数字可以填了。于是，我们需要保证数字2、5、8不全部都是某一格的相邻三格的填数。

所以，我们发现数字5和8分别已经在H5的相邻单元格了，所以另外两格都不能是数字2。所以，数字2不能填在G5，故G6是2。

这个就是夹数定理的其中最为特殊的定式，希望你记住。

[1] 题目来自于Fed网站的不连续题目。

10-2 部分覆盖

如图所示，观察到G1和H2恰好都是G2（数字2）和H1（数字8）两格的相邻格。其中：

数字2相邻单元格不能是1、2、3；
数字8相邻单元格不能是7、8、9。

所以，只剩下4、5、6可能，故这两格应为4、5、6的其二。但是，I3有数字6的存在，所以只能是4和5，故形成4和5的显性数对结构，故H3不能是4和5。

随即观察第3列，发现数字4只能填在F3；与此同时，还可以得到数字2的填数位置（在A3）。

夹数定理是一个比较实用的不连续数独技巧，希望你学到它。此处将罗列出夹数的情况[1]。

其中排除后剩余最少候选数的情况（涂色部分），需要你记住它们，做题之中会大量使用到。

因为三数的夹数定式只有2、5、8，而三数的定式总结将会形成三维的立体表格，四数的则会形成四维的表格，此处不方便绘制，所以不予给出。

Part 11 奇偶排除

奇偶排除是什么？我们试想一下，挡板两侧的数字必连续，这是连续数独给予的规定，而实际上，它还隐藏了一个东西：挡板两侧的数字必然一奇一偶。换句话说，挡板两侧的数字必然一个是奇数，另外一个是偶数。这也是显然的，要想使得两个数字差1，而且是连续数字，那肯定是一个奇数一个偶数。

那么，它怎么用呢？

如图所示，观察第2列，发现第2列还有一对具有挡板且没有写数字的两格（BC2）。由于BC2必然一奇一偶，而且观察到，BC2内能够出现的偶数只有8（2、4被第2列下方的数字排除，6被第1个宫内的A1排除）。所以BC2内必然有数字8出现（可以说形成了8的区块结构）。

同理，我们观察到，第1个宫内还有一个挡板的两侧都是空格，则可以容易地观察到，AB3里必然有数字4（由于AB3的填数必然一奇一偶的关系，而2、6、8都不能填入，被A1的6、C1的2和BC2的8区块结构共同影响到）。

接着，观察到，数字7的位置只能出现于BC2内。观察第1个宫，基础的排除法可以排除C3的填入7的情况；而B1和C1有挡板的关系，B1不能填入7；A2和A1没有挡板标记，所以A2不能为7；而AB3是关于4的区块结构，所以另一格只能为3或5，也不能填入7。所以，总的来说，数字7只能填入到BC2之中。

而观察到，C8是数字7，显然不能将7填入到C2。所以只能是B2填入7，而C2则应当填入8（最开始得到的8区块结构导致的）。

这个例子相当巧妙的地方在于，它利用到的是奇偶性质，这是一种新颖的推理方式。

Part 12 隐性数对排除

如图所示，观察到第1个宫内形成了6和7的隐性数对结构，所以可以直接得到的是，A1和C3都只有6和7两种填数情况。

和刚才逻辑类似，发现第2列存在数字5和7，所以可以直接得到C3不能填入6。

Part 13 三连禁原理

不连续数独里存在着一种关于三个连续单元格的数独定式结构，而它的用法比较灵活。

13-1 三连续格子填数不连续

第一个点的解释比较绕。意思就是，连续的三个单元格（单元格可以拐角，但需要相连）的填数一定不能是三个完全连续的数字。比如在A234里，一定不能是5、6、7这样的连续数的组合，这样会导致数字5、6、7怎么排序都无法满足不连续的要求，即总会有一个数会和另外相邻的一格的填数是连续的。

我们可以利用这一点，来完成一个题目。虽然这样的逻辑很清晰，但不容易观察到。

如图所示，可以得到第2宫内的数字6和8的区块结构，数字6和8在第2个宫内只能填入到B456内。刚刚说过，连续的三个单元格内不能是三个连续的数字，所以既然6和8一定在其中了，数字7就不能再填入其中了。

于是，观察数字7对第2个宫的排除，可以发现数字7只能填到C4。

13-2 连续数置放位置

除了刚才的定式外，这样的三个连续的单元格之中，如果一定会存在两个连续的数字，则它们一定位于三个单元格的两端。比如A567里必须出现数字3和4，则3和4一定在A5和A7上，而顺序暂不确定。

这样的思维比较灵活，至于原因也是比较好得到的：一定存在连续数的话，因为不连续数独的关系，相邻两格肯定不能是连续的数字，所以数字自然而然就只能放在两端，才能保证这两个连续数可以放置于其中。

如图所示，观察E行，发现数字5和6在E345一定只能在E3和E5之中，所以根据E6的数字4的不连续，可以排除E5填5的可能，所以E5只能是6；同理，E3就只能是5了。于是只剩下1和3。接着跟着排除，发现E4只能是3，而E9只能是1。

13-3 连续数独里面的三连禁

连续数独和不连续数独是类似的，所以它具有不连续数独一样的数独技巧——三连禁。

如图所示，观察第3个宫，发现7和8的填数位置都只能在ABC9里，于是7和8形成区块结构。

因为三连禁的关系，数字6、7、8不能同时出现在相邻的三个没有挡板（即不连续）单元格里，所以数字6一定不在ABC9之中。所以，观察第9列，发现数字6仅有I9可填，所以I9是6。

Part 14 枚举

枚举法是一种稍显暴力的技巧，它要逐个枚举出所有情况（当然，明显不满足要求的可以直接不考虑），然后根据不连续数独的规则进而再排除一些情况，最后得到填数结论的技巧。

如图所示，我们发现第8个宫内没有填入的数字有5、6、7、8。比较巧合的是，它们是连续的四个数。并观察第8个宫，可以发现其中三格是相连的。这意味着三格的填数显然不能是一组连续数字。枚举出G56和H5的所有情况：

5、6、7；
6、7、8；
5、6、8；
5、7、8。

可以发现，5、6、7和6、7、8是不合适的。如果连续的三格完全不连续的话，三个连续数字是无法放进去的，怎么放都会出现两个相邻单元格有连续的数字，产生矛盾。

进一步地，可以知道，当G56和H5是5、7、8组合的时候，I4则是6；当G56和H5是5、6、8组合的时候，I4则是7。

当G56和H5是5、6、8的组合时，G5不能是5（否则数字6填入进去必会和它连续）；也不能是6（否则数字5填进去必会产生连续）；更不能是8（G4是数字9）。此时G5无法填数。所以，只能是5、7、8的组合。

接着，如果是5、7、8的组合时，G5显然不能是8；也不能是7（否则数字8填入进去必然会和它连续），故G5是5。与此同时，因为是5、7、8的组合的关系，所以I4只能是6。

枚举法比较难观察到，但思路非常严谨而清晰：只需要逐个排除情况，得到最终的结果即可。另外，它的思维非常灵活，需要借助之前的所有技巧的思路，才可能会产生枚举结果，是一种比较麻烦的技巧。

Part 15 矛盾思想

接下来我们来看一则新的方法，它是采用“若某一个单元格的填数为A，则会发现数字B无位置可填，所以当前格不填A”的一种思想。

15-1 不连续数独例子

如图所示，观察第5列，发现E5只能填入3或7。如果E5是3，则发现数字4没有位置可填（DF5不能是和3连续的数，而H5不能是和5连续的数）。所以，数字4此时没有位置可以填。所以填入3是不行的。所以只能是数字7。

这个操作有一些麻烦，需要使用到试误的手法，不过它依然是有逻辑的[1]。

[1] 要看是否具有逻辑，是看技巧本身的推导过程是否使用到了逻辑手法。一般的试数手法的过程都是毫无逻辑的，所以一般的试数并不算作是一种逻辑技巧；而这种试数手段，使用了逻辑方式，通过矛盾的方式得到了结论，算是一种有逻辑的试数手法。

15-2 连续数独例子

如图所示，观察A8，因为A89之间有挡板标注，所以A8只能是2和4的其一。

如果是2的话，数字4在第3个宫内无位置可填。首先根据基础的排除，发现数字4只能填入到B89里；而显然，B9不能是4，上方是数字3，而没有挡板标注，不能相差1；而B8也不能是4。因为能和数字4连续的数字只有3和5，却都已经出现在不和4相邻的位置上，B89之间有挡板，这说明B8是4的话，B9里3和5两个连续的数字全部不能填入，这样B9就无数可填了，所以就错误了。

这样一来，发现数字2在A8是不合适的，它会使得数字4在第3个宫没有任何位置可填，所以A8只能是数字4。

15-3 三连禁矛盾

如左图所示，观察到，第6个宫内填入4的位置只有F78。F9不能是4，因为EF9之间没有挡板标注。

如果F8是4，则可以顺次得到F9是5（连续）、C8是5（宫排除）、D8是6（连续）的结果。此时再观察第6个宫，发现剩余三格相邻，且只剩下数字7、8、9这组连续数字没有填入。

数字7、8、9是连续的数字，它不允许填入到三个相邻的单元格之中，所以这样就错误了。所以，最初的假设——F8是4就是错误的。所以，数字4只能填入到F7之中。

Part 16 连续三数组

如果一个相邻的三个单元格之中，有挡板怎么办？

16-1 基本用法（带单挡板）

如图所示，可以发现，第8个宫内，G56两格内没有填入的数字只有1、2、7、9。由于两侧有挡板标注，所以只能选取里面连续的一组情况，故G56只能是1和2。那么，剩下的三格H56和I6，只能是7、8、9。

恰好，它们是一组连续的数字，但这三格里，只有一个挡板。我们只能将7、8、9里中间的数字8[1]。为什么呢？

思考一下，连续的三格之中，需要填入三个连续的数字7、8、9。则由六种可能性：

7、8、9；
7、9、8；
8、7、9；
8、9、7；
9、7、8；
9、8、7。

假设其中只有一个挡板标注位于第一个数和第二个数之间，那么这些可能之中，第1种不行（8和9连续）、第2种不行（7和9不连续）、第5种不行（9和7不连续）、第6种不行（8和7连续）。

所以其实剩下的情况只有数字8开头的两种序列。这也就简单的地证明了，序列中间的数字应当放在三个相邻单元格之中，有挡板的最外侧。或者把这个话反过来说，如果三个相邻的单元格之中有一个连续挡板标注，而要填入三个连续的数字序列的话，序列最中间的数字应放在三个相邻单元格里有挡板标注的最外侧。那是不是这里只有这个题满足要求呢？你可以把这里的7、8、9推广为(n-1)、n和(n+1)，再来推导这个问题，结果是一样的。